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在测度论中，法图引理说明了一个函数列的下极限的积分（在勒贝格意义上）和其积分的下极限的不等关系。法图引理的名称来源于法国数学家皮埃尔·法图（Pierre Fatou），被用来证明测度论中的法图-勒贝格定理和勒贝格控制收敛定理。

叙述

设(S,Σ,μ)displaystyle scriptstyle (S,Sigma ,mu )为一个测度空间， (fn)n≥0displaystyle scriptstyle (f_n)_ngeq 0是一个实值的可测正值函数列。那么：

∫Slim infn→∞fndμ≤lim infn→∞∫Sfndμ.displaystyle int _Sliminf _nto infty f_n,dmu leq liminf _nto infty int _Sf_n,dmu ,.

其中的函数极限是在逐点收敛的意义上的极限，函数的取值和积分可以是无穷大。

证明

定理的证明基于单调收敛定理（非常容易证明）。设fdisplaystyle scriptstyle f为函数列(fn)n≥0displaystyle scriptstyle (f_n)_ngeq 0 的下极限。对每个正整数 k ，逐点定义下极限函数：

gk=infn≥kfn.displaystyle g_k=inf _ngeq kf_n.

于是函数列g₁, g₂, . . .单调递增并趋于fdisplaystyle scriptstyle f 。

任意k ≤ n，我们有g_k ≤ f_n，因此

∫Sgkdμ≤∫Sfndμ,displaystyle int _Sg_k,dmu leq int _Sf_n,dmu ,

于是

∫Sgkdμ≤infn≥k∫Sfndμ.displaystyle int _Sg_k,dmu leq inf _ngeq kint _Sf_n,dmu .

据此，由单调收敛定理以及下极限的定义，就有：

∫Slim infn→∞fndμ=limk→∞∫Sgkdμ≤limk→∞infn≥k∫Sfndμ=lim infn→∞∫Sfndμ.displaystyle int _Sliminf _nto infty f_n,dmu =lim _kto infty int _Sg_k,dmu leq lim _kto infty inf _ngeq kint _Sf_n,dmu =liminf _nto infty int _Sf_n,dmu ,.

反向法图引理

令(fn)displaystyle scriptstyle (f_n)为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有fn≤gdisplaystyle scriptstyle f_nleq g，那么

∫Slim supn→∞fndμ≥lim supn→∞∫Sfndμ.displaystyle int _Slimsup _nto infty f_n,dmu geq limsup _nto infty int _Sf_n,dmu .

这里gdisplaystyle scriptstyle g只需弱可积，即∫Sgdμ<∞displaystyle textstyle int _Sg,dmu <infty 。

证明：对函数列(g−fn)displaystyle scriptstyle (g-f_n)应用法图引理即可。

推广

推广到任意实值函数

法图引理不仅对取正值的函数列成立，在一定限制条件下，可以扩展到任意的实值函数。令(fn)n≥0displaystyle scriptstyle (f_n)_ngeq 0为测度空间(S,Σ,μ)中的一列可测函数，函数的值域为扩展实数（包括无穷大）。如果存在一个在 S 上可积的正值函数 g ，使得对所有的 n 都有fn≥gdisplaystyle scriptstyle f_ngeq g，那么

证明：对函数列(fn−g)displaystyle scriptstyle (f_n-g)应用法图引理即可。

逐点收敛

在以上的条件下，如果函数列在S上μ-几乎处处逐点收敛到一个函数fdisplaystyle scriptstyle f，那么

∫Sfdμ≤lim infn→∞∫Sfndμ.displaystyle int _Sf,dmu leq liminf _nto infty int _Sf_n,dmu ,.

证明：fdisplaystyle scriptstyle f是函数列的极限，因此自然是下极限。此外，零测集上的差异对于积分值没有影响。

依测度收敛

如果函数列在S上依测度收敛到fdisplaystyle scriptstyle f，那么上面的命题仍然成立。

证明：存在(fn)displaystyle scriptstyle (f_n)的一个子列使得

limk→∞∫Sfnkdμ=lim infn→∞∫Sfndμ.displaystyle lim _kto infty int _Sf_n_k,dmu =liminf _nto infty int _Sf_n,dmu ,.

这个子列仍然依测度收敛到fdisplaystyle scriptstyle f，于是又存在这个子列的一个子列在S 上μ-几乎处处逐点收敛到fdisplaystyle scriptstyle f，于是命题成立。

外部链接

• 
  PlanetMath上法图引理的資料。

参考来源

• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.