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建議将隸屬函數併入本條目或章節。（討論）

在集合論中，指示函数是定义在某集合X上的函数，表示其中有哪些元素属于某一子集A。

。现在已经少用这一称呼。概率论有另一意思迥异的特征函数。

集X的子集A的指示函数是函数1A:X→0,1displaystyle 1_A:Xto lbrace 0,1rbrace ，定义为

1A(x)={10displaystyle 1_A(x)=begincases1\0endcasesquad	若 x∈Adisplaystyle xin A
	若 x∉Adisplaystyle xnotin A

A的指示函数也记作χA(x)displaystyle chi _A(x),或IA(x)displaystyle qquad I_A(x),。

简单性质

把X的子集A对应到它的指示函数的映射是雙射，值域是所有函数f:X→0,1displaystyle f:Xto 0,1的集合。

如果A和B是X的两个子集，那么

1A∩B=min1A,1B=1A1Bdisplaystyle 1_Acap B=min1_A,1_B=1_A1_B,，

以及

1A∪B=max1A,1B=1A+1B−1A1Bdisplaystyle 1_Acup B=max1_A,1_B=1_A+1_B-1_A1_B,。

更一般地，设A₁, ..., A_n是X的子集。对任意x∈Xdisplaystyle xin X，可知

∏k∈I(1−1Ak(x))=1displaystyle prod _kin I(1-1_A_k(x))=1当且仅当x不属于任何A_k。

故有

∏k∈I(1−1Ak)=1X−⋃kAk=1−1⋃kAkdisplaystyle prod _kin I(1-1_A_k)=1_X-bigcup _kA_k=1-1_bigcup _kA_k。

展开左式

1⋃kAkdisplaystyle 1_bigcup _kA_k	=1−∑F⊆1,2,…,n(−1)|F|1⋂FAkdisplaystyle =1-sum _Fsubseteq 1,2,ldots ,n(-1)^;1_bigcap _FA_k
	=∑∅≠F⊆1,2,…,n(−1)|F|+11⋂FAkdisplaystyle =sum _varnothing neq Fsubseteq 1,2,ldots ,n(-1)^;1_bigcap _FA_k，

其中|F|是F的势。这是容斥原理的一个形式。

如上一例子所示，指示函数是组合数学一个有用记法。这记法也用在其他地方，例如在概率论：若X是概率空间，有概率测度P，A是可测集，那么1_A就是随机变量，其期望值等于A的概率。

E(1A)=∫X1A(x)dP=∫AdP=P(A)displaystyle E(1_A)=int _X1_A(x),dP=int _AdP=P(A)。

这等式用于马尔可夫不等式的一个简单证明裡。