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当且仅当（英语：if and only if，iff），在數位邏輯中，逻辑算符反互斥或閘（exclusive or）是对两个运算元的一种邏輯分析类型，符号为XNOR或ENOR或⇔displaystyle Leftrightarrow 。与一般的邏輯或非NOR不同，當兩兩數值相同為是，而數值不同時為否。在数学、哲学、逻辑学以及其他一些技术性领域中被用来表示“在这个条件成立，并且仅在这个条件成立时”之意。当命题P,Qdisplaystyle P,Q满足“当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”且“仅当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”时，称为“当且仅当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”，其他等价的说法有“Qdisplaystyle Q当且仅当Pdisplaystyle P^{[註 1]}”；“Pdisplaystyle P是Qdisplaystyle Q的充分必要条件（充要條件）”；“Pdisplaystyle P等价于Qdisplaystyle Q”。

一般而言，當我們看到“当且仅当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”，我們可以知道“如果Pdisplaystyle P成立時，則Qdisplaystyle Q一定成立；如果Qdisplaystyle Q成立時，則Pdisplaystyle P也一定成立”；“如果Pdisplaystyle P不成立時，則Qdisplaystyle Q一定不成立；如果Qdisplaystyle Q不成立時，則Pdisplaystyle P也一定不成立”。

当且仅当

标记

与此相对应的逻辑符号是↔displaystyle leftrightarrow 和⇔displaystyle Leftrightarrow 。这两个通常被当作是相等的。但是，一些数学教科书，特别是那些关于一阶逻辑而非命题逻辑对此有所区别，在那里前者被用来表示逻辑公式，后者表示那些公式的推理（譬如说在元逻辑中）。

证明

设Pdisplaystyle P与Qdisplaystyle Q為两命题，在证明“当且仅当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”时，这相当于去同时证明陈述“如果Pdisplaystyle P成立，则Qdisplaystyle Q成立”和“如果Qdisplaystyle Q成立，则Pdisplaystyle P成立”。另外，也可以证明“如果Pdisplaystyle P成立，则Qdisplaystyle Q成立”和“如果Pdisplaystyle P不成立，则Qdisplaystyle Q不成立”，后者作为对偶，等价于“如果Qdisplaystyle Q成立，则Pdisplaystyle P成立”。

有关英语缩写iff的开端

在出版物中，英语iff的表示标记最早出现在约翰·L·凯利的《一般拓扑学》中。它的发明通常被认为是归于数学家保罗·哈尔莫斯，但在哈尔莫斯的自传中却声明该标记另有出处，他只是首先在数学领域使用^[1]。

“当”与“当且仅当”

简单地，如下的两个例子可以说明这两者的不同：

1. 
   当冰淇淋是香草口味的，则小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋。）


2. 
   当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。（这等于说：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王会吃这个冰淇淋；并且，如果小王吃冰淇淋，那么这个冰淇淋就是香草口味的。）

第1句指小王会吃香草口味的冰淇淋，并没有排除他会吃香草以外口味冰淇淋的可能性，能肯定的是他不会拒绝香草口味的冰淇淋。

第2句指小王会吃且只吃香草口味的冰淇淋，他不会吃任何其它口味的冰淇淋。

进一步的思考

用「当且仅当」连接两个句子造成的句子被称为是“双条件句”。“当且仅当”把两个句子结合成新的句子。它不应该跟描述两个句子之间关系的“逻辑等价”混淆。

双条件句“当且仅当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”，是用Pdisplaystyle P和Qdisplaystyle Q来陈述Pdisplaystyle P和Qdisplaystyle Q所描述的事件状况之间的关系。

相对照的，“Pdisplaystyle P逻辑等价于Qdisplaystyle Q”则注重两个句子：它只是陈述两个句子之间的关系，而不是它们所介绍的什么事情。

这里的区别非常容易混淆，已经使得很多哲学家迷惑。当然，在“Pdisplaystyle P逻辑等价于Qdisplaystyle Q”时，“当且仅当Pdisplaystyle P则Qdisplaystyle Q”为真，但是它的逆并不成立。让我们重新考虑上面的句子：

• 当且仅当冰淇淋是香草口味，则小王会吃这个冰淇淋。

很清楚，对于这个特定的双条件句，两个半句之间并没有逻辑等价。如想了解更多的差异，请参照W. V. Quine的《数理逻辑，第5节》。

在哲学和逻辑学中，“当且仅当”通常用作定义，因为定义被认为是全称量化的双条件句。但在数学中，相比起“当且仅当”，如果通常被用于定义。这里给出一些使用到“当且仅当的”真陈述，也是真双条件句（第一句是一个定义的例子）：

• 当且仅当一个人是未婚且可结婚的男人，则他是单身男性。


• 当且仅当x=1displaystyle x=1，则x+1=2displaystyle x+1=2。


• 对于任意命题P,Q,Rdisplaystyle P,Q,R，当且仅当(P∧Q)∧Rdisplaystyle (Pland Q)land R，则P∧(Q∧R)displaystyle Pland (Qland R)。

更一般的用法

“当且仅当”在逻辑领域以外，如同在数学出版物或者普通的谈话中都会用到。如同上面所说，它指的是某个陈述是另外一个的充分必要条件。这是一个数学术语的例子。

注解

参考文献

参见

• 充分必要条件


• 等价关系


• 等价符号

查 论 编 逻辑联结词 恆真（⊤displaystyle top ） 与非（↑displaystyle uparrow ） · 反蕴涵（←displaystyle leftarrow ） · 蕴涵（→displaystyle rightarrow ） · 或（∨displaystyle lor ） 非（¬displaystyle neg ） · 异或（⊕displaystyle oplus ） · 双条件（↔displaystyle leftrightarrow ） · 命题 或非（↓displaystyle downarrow ） · 非蕴涵（↛displaystyle nrightarrow ） · 反非蕴涵（↚displaystyle nleftarrow ） · 与（∧displaystyle land ） 恆假（⊥displaystyle bot ）