逐點收斂
Clash Royale CLAN TAG #URR8PPP 在数学中， 逐点收敛 （或称 简单收敛 ）描述的是一列函数向一个特定函数趋近的现象中的一种。简单来说，就是对定义域里的每一点，这个函数列在这点上的取值都趋于一个极限值。这时，被趋近的这个特定函数称作函数列的 逐点极限 。在各种收敛中，逐点收敛最为直观，容易想象，但不能很好地保持函数的一些重要性质，比如说连续性等等。 目录 1 定义 2 性质 3 拓扑性质 4 测度论 5 参见 定义 设 (fn)displaystyle (f_n) 是一列拥有同样定义域的函数。 (fn)displaystyle (f_n) 逐点收敛当且仅当存在函数 fdisplaystyle f ，使得对定义域中的每个 xdisplaystyle x ，都有： limn→∞fn(x)=f(x)displaystyle lim _nrightarrow infty f_n(x)=f(x) 这时我们就说 (fn)displaystyle (f_n) 逐点收敛到 fdisplaystyle f 。 性质 与逐点收敛经常一起出现的一个概念是 一致收敛 。后者的定义如下： (fn)displaystyle (f_n) 一致收敛到 fdisplaystyle f 当且仅当在定义域 Idisplaystyle I 中 limn→∞supfn(x)−f(x)=0displaystyle lim _nrightarrow infty ,sup:xin I,=0 相比较下，一致收敛是一个更“强”的概念。一致收敛的函数列必然逐点收敛，反之则不尽然。一个简单的例子是开区间 (0,1)displaystyle (0,1) 上的函数列 fn:x⟼xndisplaystyle f_n:xlongmapsto x^n ， (fn)displaystyle (f_n) 逐点收敛到函数 f:x⟼0displaystyle f:xlongmapsto 0 ，但并不一致收敛到0，因为 limn→∞supfn(x)−f(x)=1displaystyle lim _nrightarrow infty ,sup:xin (0,1),=1 。 一致收敛能够保持函数列的连续性，但逐点收敛不能。例如，上述函数 fn:x⟼xndisplaystyle f_n:xlongmaps