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在数学中，一个定义在集合Xdisplaystyle X上的实值函数fdisplaystyle f的支撑集，或简称支集，是指Xdisplaystyle X的一个子集，满足fdisplaystyle f恰好在这个子集上非0displaystyle 0。最常见的情形是，Xdisplaystyle X是一个拓扑空间，比如实数轴等等，而函数fdisplaystyle f在此拓扑下连续。此时，fdisplaystyle f的支撑集被定义为这样一个闭集Cdisplaystyle C：fdisplaystyle f在X∖Cdisplaystyle Xbackslash C中为0displaystyle 0，且不存在Cdisplaystyle C的真闭子集也满足这个条件，即，Cdisplaystyle C是所有这样的子集中最小的一个。拓扑意义上的支撑集是点集意义下支撑集的闭包。

特别地，在概率论中，一个概率分布是随机变量的所有可能值组成的集合的闭包。

紧支撑

一个函数被称为是紧支撑于空间Xdisplaystyle X的，如果这个函数的支撑集是Xdisplaystyle X中的一个紧集。例如，若Xdisplaystyle X是实数轴，那么所有在无穷远处消失的函数（英语：vanish at infinity）都是紧支撑的。事实上，这是函数必须在有界集外为0displaystyle 0的一个特例。在好的情形（英语：Pathological (mathematics)）下，紧支撑的函数所构成的集合，在所有在无穷远处消失的函数构成的集合中，是稠密集的，当然在给定的具体问题中，这一点可能需要相当的工作才能验证。例如对于任何给定的ϵ>0displaystyle epsilon >0，一个定义在实数轴Xdisplaystyle X上的函数fdisplaystyle f在无穷远处消失，可以粗略通过选取一个紧子集Cdisplaystyle C来描述：

|f(x)−1C(x)f(x)|<ϵdisplaystyle

其中1C(x)displaystyle 1_C(x)表示Cdisplaystyle C的指示函数。

注意，任何定义在紧空间上的函数都是紧支撑的。

当然也可以更一般地，将支撑集的概念推广到分布，比如狄拉克函数：定义在直线上的δ(x)displaystyle delta (x)。此时，我们考虑一个测试函数Fdisplaystyle F，并且Fdisplaystyle F是光滑的，其支撑集不包括0displaystyle 0。由于δ(F)displaystyle delta (F)（即δdisplaystyle delta 作用于Fdisplaystyle F）为0displaystyle 0，所以我们说δdisplaystyle delta 的支撑集为0displaystyle 0。注意实数轴上的测度（包括概率测度）都是分布的特殊情况，所以我们也可以定义一个测度支撑集。

奇支集

在傅立叶分析的研究中，一个分布的奇支集或奇异支集有非常重要的意义。 直观地说，这个集合的元素都是所谓的奇异点，即使得这个分布不能局部地看作一个函数的点。

例如，单位阶跃函数的傅立叶变换，在忽略常数因子的情况下，可以被认为是1/xdisplaystyle 1/x，但这在x=0displaystyle x=0时是不成立的。所以很明显地，x=0displaystyle x=0是一个特殊的点，更准确地说，这个分布的傅立叶变换的奇支集是0displaystyle 0，即对于一个支撑集包括0displaystyle 0的测试函数而言，这个分布的作用效果不能表示为某个函数的作用。当然这个分布可以表示为一个柯西主值意义下的瑕积分。

对于多变量的分布，奇支集也可以更精确地被描述为波前集，从而可以利用数学分析来理解惠更斯原理。奇支集也可以用来研究分布理论中的特殊现象，如在试图将分布'相乘'时候导致的问题（狄拉克函数的平方是不存在的，因为两个相乘的分布的奇支集必须不相交）。

支撑族

支撑族是一个抽象的拓扑概念，昂利·嘉当在一个层中定义了这个概念。在将庞加莱对偶性推广到非紧的流形上的时候，在对偶的一个方面上引入紧支撑的概念是自然的。

Bredon的书《Sheaf Theory》(第二版 1997)中给出了这些定义。Xdisplaystyle X的一组闭子集Φdisplaystyle Phi 是一个支撑族，如果它是下闭的并且它的有限并也是闭的。它的扩张是Φdisplaystyle Phi 的并。一个仿紧化(paracompactifying)的支撑族对于任何Y∈Φdisplaystyle Yin Phi ，在子空间拓扑意义下是一个仿紧空间，并且存在一些Z∈Pidisplaystyle Zin Pi是一个邻域。如果Xdisplaystyle X是一个局部紧空间（英语：locally compact space），并且是豪斯多夫空间，所有的紧子集组成的族满足上的条件，那么就是仿紧化的。