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擴展實數線由實數線Rdisplaystyle mathbb R 加上+∞displaystyle +infty 和−∞displaystyle -infty 得到（注意+∞displaystyle +infty 和−∞displaystyle -infty 并不是实数），写作R¯displaystyle overline mathbb R 或[−∞,+∞]displaystyle left[-infty ,+infty right]。扩展的實數線在研究数学分析，特别是积分时非常有用。

扩展

对任意实数adisplaystyle a，定义−∞≤a≤+∞displaystyle -infty leq aleq +infty ，扩展的实数轴就成了一个全序集。这种集合有种非常好的性质，就是其所有子集都有上确界和下确界：这是一个完备格。全序关系在R¯displaystyle overline mathbb R 上引入了拓扑。在这个拓扑中，集合Udisplaystyle U是+∞displaystyle +infty 的邻域，当且仅当它包含集合x:x>adisplaystyle leftx:x>aright，这里adisplaystyle a是某个实数。−∞displaystyle -infty 的邻域类似。R¯displaystyle overline mathbb R 是个紧致的豪斯多夫空间，与单位区间[0,1]displaystyle left[0,1right]同胚。

Rdisplaystyle mathbb R 上的算术运算可以部分地扩展到R¯displaystyle overline mathbb R ，如下：

a+∞=+∞+a=+∞a≠−∞a−∞=−∞+a=−∞a≠+∞a⋅(±∞)=±∞⋅a=±∞a∈(0,+∞]a⋅(±∞)=±∞⋅a=∓∞a∈[−∞,0)a±∞=0a∈R±∞a=±∞a∈(0,+∞)±∞a=∓∞a∈(−∞,0)displaystyle beginarrayla+infty =+infty +a=+infty &aneq -infty \a-infty =-infty +a=-infty &aneq +infty \acdot left(pm infty right)=pm infty cdot a=pm infty &ain left(0,+infty right]\acdot left(pm infty right)=pm infty cdot a=mp infty &ain left[-infty ,0right)\dfrac apm infty =0&ain mathbb R \dfrac pm infty a=pm infty &ain left(0,+infty right)\dfrac pm infty a=mp infty &ain left(-infty ,0right)endarray

通常不定义∞−∞,0⋅(±∞),±∞±∞displaystyle infty -infty ,0cdot left(pm infty right),frac pm infty pm infty 。同时10displaystyle frac 10也不定义为+∞displaystyle +infty （因為這樣忽視了−∞displaystyle -infty ），这些规则是根据无穷极限的性质确定的。

注意在这些定义下，R¯displaystyle overline mathbb R 不是域，也不是环。

性质

经过上述定义，扩展的实数轴仍有很多实数的性质：

• 
  a+(b+c)displaystyle a+left(b+cright)和(a+b)+cdisplaystyle left(a+bright)+c相等或同时没有定义。


• 
  a+bdisplaystyle a+b和b+adisplaystyle b+a相等或同时没有定义。


• 
  a⋅(b⋅c)displaystyle acdot left(bcdot cright)和(a⋅b)⋅cdisplaystyle left(acdot bright)cdot c相等或同时没有定义。


• 
  a⋅bdisplaystyle acdot b和b⋅adisplaystyle bcdot a相等或同时没有定义。


• 
  a⋅(b+c)displaystyle acdot left(b+cright)和(a⋅b)+(a⋅c)displaystyle left(acdot bright)+left(acdot cright)若都有定义则相等。


• 若a≤bdisplaystyle aleq b且a+cdisplaystyle a+c和b+cdisplaystyle b+c都有定义，则a+c≤b+cdisplaystyle a+cleq b+c。


• 若a≤bdisplaystyle aleq b且c>0displaystyle c>0且a⋅cdisplaystyle acdot c和b⋅cdisplaystyle bcdot c都有定义，则a⋅c≤b⋅cdisplaystyle acdot cleq bcdot c。

通常只要表达式都有定义，所有算术性质在R¯displaystyle overline mathbb R 上都成立。

使用极限，一些函数可以自然地扩展到R¯displaystyle overline mathbb R 。例如可以定义e−∞=0,e+∞=+∞,ln⁡0=−∞,ln⁡(+∞)=+∞displaystyle rm e^-infty =0,rm e^+infty =+infty ,ln 0=-infty ,ln left(+infty right)=+infty 等。

参见

• 扩展的复平面