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在实分析领域中，简单函数是只取得有限个值的实函数。有些作者还要求简单函数是可测的；实际上它们一定是可测的。

一个简单函数的基本例子，是半开区间[1,9)上的取整函数，它唯一的值是1,2,3,4,5,6,7,8。一个更加高级的例子是实直线上的狄利克雷函数，如果x是有理数，则函数的值为1，否则为0。

定义

正式地，一个简单函数是可测集合的指示函数的有限线性组合。更加精确地，设(X, Σ)为可测空间。设A₁，……，A_n ∈ Σ为可测集合的序列，并设a₁，……，a_n为实数或复数数列。简单函数是以下形式的函数：

f(x)=∑k=1nakIAk(x).displaystyle f(x)=sum _k=1^na_kmathbf I _A_k(x).

性质

根据定义，两个简单函数的和、差与积，以及一个简单函数与常数的积也是简单函数，因此可推出所有简单函数在复数域上形成了一个交换代数。

在积分的理论的发展中，以下的结果是很重要的。任何非负的可测函数f:X→R+displaystyle fcolon Xto mathbb R ^+都是非负简单函数的单调增加序列的逐点极限。事实上，设fdisplaystyle f为定义在测度空间(Ω,F,μ)displaystyle (Omega ,mathcal F,mu )上的非负可测函数。对于每一个n∈Ndisplaystyle nin mathbb N ，我们把fdisplaystyle f的值域分成22n+1displaystyle 2^2n+1个长度为2−ndisplaystyle 2^-n的区间。我们设In,k=[k−12n,k2n)displaystyle I_n,k=left[frac k-12^n,frac k2^nright)对于k=1,2,…,22ndisplaystyle k=1,2,ldots ,2^2n以及In,22n+1=[2n,∞]displaystyle I_n,2^2n+1=[2^n,infty ]。我们定义可测集合An,k=f−1(In,k)displaystyle A_n,k=f^-1(I_n,k)，对于k=1,2,…,22n+1displaystyle k=1,2,ldots ,2^2n+1。那么，简单函数的单调增加序列fn=∑k=122n+1k−12nIAn,kdisplaystyle f_n=sum _k=1^2^2n+1frac k-12^nmathbf I _A_n,k
当n→∞displaystyle nto infty 时逐点收敛于fdisplaystyle f。

注意如果fdisplaystyle f是有界的，则序列是一致收敛的。

简单函数的积分

如果一个测度μ定义在空间(X,Σ)上，则f关于μ的勒贝格积分是：

∑k=1nakμ(Ak),displaystyle sum _k=1^na_kmu (A_k),

如果所有的加数都是有限的。

参考文献

• J. F. C. Kingman, S. J. Taylor. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.


• S. Lang. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.


• W. Rudin. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.


• H. L. Royden. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.