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在数学分析和测度论中，勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的函数列的每一项都能被同一个勒贝格可积的函数“控制”（即对变量的任何取值，函数的绝对值都小于另一个函数），那么函数列的极限函数的勒贝格积分等于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限。勒贝格控制收敛定理显示出勒贝格积分相比于黎曼积分的优越性，在数学分析和实变函数论中有很大的应用。

叙述

设(S,Σ,μ)displaystyle scriptstyle (S,Sigma ,mu )为一个测度空间， (fn)n≥0displaystyle scriptstyle (f_n)_ngeq 0是一个实值的可测函数列。如果(fn)displaystyle scriptstyle (f_n)逐点收敛于一个函数fdisplaystyle scriptstyle f，并存在一个勒贝格可积的函数g∈L1displaystyle scriptstyle gin L^1，使得对每个n≥0displaystyle scriptstyle ngeq 0，任意x∈Sdisplaystyle scriptstyle xin S，都有

|fn(x)|≤g(x)f_n(x)，

则：

1. 
   fdisplaystyle scriptstyle f也是勒贝格可积的，f∈L1displaystyle scriptstyle fin L^1；


2. ∫Sfdμ=∫Slimn→∞fndμ=limn→∞∫Sfndμ.displaystyle int _Sfdmu =int _Slim _nto infty f_n,dmu =lim _nto infty int _Sf_n,dmu .

其中的函数gdisplaystyle scriptstyle g一般取为正值函数。函数列(fn)n≥0displaystyle scriptstyle (f_n)_ngeq 0的逐点收敛和|fn(x)|≤g(x)f_n(x)的性质可以减弱为μ−displaystyle scriptstyle mu -几乎处处成立。

证明

勒贝格控制收敛定理是更广泛的法图-勒贝格定理（Fatou–Lebesgue theorem）的特例。以下是一个引用法图引理的证明。

由于 fdisplaystyle scriptstyle f 是(fn)displaystyle scriptstyle (f_n)逐点收敛的极限，因此对其仍然有

∀x∈S |f(x)|≤g(x)f(x)（于是f∈L1displaystyle scriptstyle fin L^1）。

同理，对任意的 n有：

|f−fn|≤2gf-f_n 以及

lim supn→∞|f−fn|=0.=0.

根据法图引理，

lim supn→∞∫S|f−fn|dμ≤∫Slim supn→∞|f−fn|dμ=0.f-f_n

因此，由勒贝格积分的线性性和单调性，就有

|∫Sfdμ−∫Sfndμ|=|∫S(f−fn)dμ|≤∫S|f−fn|dμ,displaystyle biggl int _Sf,dmu -int _Sf_n,dmu =biggl int _S(f-f_n),dmu leq int _S

而后者趋于0，于是定理得证。

控制函数的必要性

控制收敛定理能够成立的一个重要因素是存在一个可积的函数，使得函数列收敛的过程能够“安全”进行。如果缺少这个条件，调换运算次序就可能会导致各种后果。下面是一个例子：

定义函数 f_n 为：对于 (0,1/n] 中的 x ， f_n(x) = n 。对于(1/n,1]中的 x ，f_n(x) = 0 。对(0,1] 中的任意 x ，当 n 趋于无穷大时，f_n(x) 总趋于零，同时 f_n 在(0,1] 上的积分总是1。结果是：

∫01limn→∞fn(x)dx=0≠1=limn→∞∫01fn(x)dx,displaystyle int _0^1lim _nto infty f_n(x),dx=0neq 1=lim _nto infty int _0^1f_n(x),dx,

控制收敛定理不成立。原因是不存在可积的控制函数：定义h= sup_n f_n 为：对(0,1] 中每一点 x ， h(x)=supn≥0fn(x)displaystyle h(x)=sup _ngeq 0f_n(x)。那么在 (1/n+1,1/n] 上h(x)= n 。于是如果存在控制函数 g ，那么 g≥hdisplaystyle ggeq h，但是

∫01h(x)dx≥∫1/m1h(x)dx=∑n=1m−1∫(1n+1,1n]ndx=∑n=1m−11n+1→∞displaystyle int _0^1h(x),dxgeq int _1/m^1h(x),dx=sum _n=1^m-1int _left(frac 1n+1,frac 1nright]n,dx=sum _n=1^m-1frac 1n+1to infty quad （当 m→∞displaystyle mto infty 时）

也就是说 g 不可积。

由此可见，可积的控制函数是定理成立的必需条件。

参见

• 勒贝格积分


• 一致可积

参考资料

• R.G. Bartle, "The Elements of Integration and Lebesgue Measure", Wiley Interscience, 1995.


• H.L. Royden, "Real Analysis", Prentice Hall, 1988.


• D. Williams, "Probability with Martingales", Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-40605-6