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一致连续性描述定义在一定度量空间上的函数的性质。与连续性刻画函数在局部的性质不同，一致连续刻画的是函数的整体性质。一致连续是比连续更苛刻的条件。一个函数在某度量空间上一致连续，则其在此度量空间上必然连续，但反之未必成立。直观上，一致连续可以理解为，当自变量x在足够小的范围内变动时，函数值y的变动也会被限制在足够小的范围内。

ε-δ定义

设 $(X,d_1)$ 和 $(Y,d_2)$ 是两个度量空间， $Msubseteq X$ 并且 $Nsubseteq Y$ ，则一个函数 $f:Mto N$ 一致连续当且仅当对任意的 $epsilon >0$ ，存在 $delta >0$ ，使得任意的 $x,yin M$ 只要 $displaystyle d_1(x,y)<delta$ ，就有 $displaystyle d_2(f(x),f(y))<epsilon$ 。

连续与一致连续

定理：

一个从紧致度量空间到度量空间的连续函数是一致连续的。

证明：

设函数 $displaystyle f:Xto Y$ ， $displaystyle (X,d_1)$ 为紧致度量空间， $displaystyle (Y,d_2)$ 为度量空间。

假设 $f$ 不是一致连续的，則存在一個 $epsilon >0$ ，对于任意n都存在 $displaystyle x_n,y_n$ 满足条件 $displaystyle d_1(x_n,y_n)<tfrac 1n$ 并且 $displaystyle d_2(f(x_n),f(y_n))geq epsilon$ 。