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反常积分又叫广义积分（“广义积分”为较早教科书的称呼，现在中国大陆已弃用），是对普通定积分的推广，指含有无穷上限／下限，或者被积函数含有瑕点的积分，前者称为无穷限广义积分，后者称为瑕积分（又叫无界函数的反常积分）。

无穷限广义积分

定义

无穷限广义积分指积分上限下限中含有无穷大（∞）的积分，严格的数学定义如下：

设函数 $f(x)$ 在 [a,+∞）上任何闭区间都是可积的，积分

int _a^infty f(x)dx=lim _uto +infty int _a^uf(x)dx

称为无穷限广义积分。当上述极限存在时，称广义积分 $int _a^infty f(x)dx=lim _uto +infty int _a^uf(x)dx$ 收敛，当上述极限不存在时，称该广义积分发散。
类似的，设函数 $f(x)$ 在（－∞,a］上任何闭区间都是可积的，积分： $int _-infty ^af(x)dx=lim _uto -infty int _u^af(x)dx$ 亦称为无穷限广义积分。

定义的推广

设 $f(x)$ 在(-∞,+∞)的任何闭区间上可积，且对于 $forall$ a $in$ (-∞,+∞),广义积分 $int _-infty ^af(x)dx$ 与 $int _a^+infty f(x)dx$ 都收敛，则广义积分 $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 收敛，且 $int _-infty ^+infty f(x)dx$ ＝ $int _-infty ^af(x)dx$ ＋ $int _a^+infty f(x)dx$ ,当 $int _-infty ^af(x)dx$ 与 $int _a^+infty f(x)dx$ 中至少有一个发散，则称 $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 发散。

与柯西主值的联系

从极限的角度考察上述广义积分有如下等式； $int _-infty ^+infty f(x)dx$ ＝ $lim _uto +infty int _a^uf(x)dx$ + $lim _vto -infty int _v^af(x)dx$ ,值得注意的是等式右边的两个极限的收敛速度可能不同，若 $lim _uto +infty int _a^uf(x)dx$ 与 $lim _vto -infty int _v^af(x)dx$ 都收敛，则 $lim _uto +infty int _a^uf(x)dx$ + $lim _vto -infty int _v^af(x)dx$ = $lim _uto +infty int _-u^uf(x)dx$ ，这时若 $lim _uto +infty int _-u^uf(x)dx$ 收敛，则称该极限为广义积分 $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 的柯西主值；记为p.v $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 。根据定义，可有如下性质：
若 $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 收敛，则其柯西主值p.v $int _-infty ^+infty f(x)dx$ ＝ $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 。但是若柯西主值p.v $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 收敛，未必有 $lim _uto +infty int _a^uf(x)dx$ 以及 $lim _uto -infty int _u^af(x)dx$ 都收敛，即p.v $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 收敛，未必有 $int _-infty ^+infty f(x)dx$ 收敛。

无穷限广义积分的性质

（i）对于 $forall$ $b>a$ 无穷限广义积分 $int _a^+infty f(x)dx$ 与 $int _b^+infty f(x)dx$ 有相同的敛散性，且收敛时，有 $int _a^+infty f(x)dx$ = $int _a^bf(x)dx$ + $int _b^+infty f(x)dx$
由此可知， $int _a^+infty f(x)dx$ 收敛的充分必要条件是对 $forall$ b>a， $int _b^+infty f(x)dx$ 收敛，并且 $displaystyle lim _bto +infty int _b^+infty f(x)dx=0$ 。
（ii）对于任意常数 $displaystyle kneq 0$ , $int _a^+infty f(x)dx$ 与 $int _a^+infty kf(x)dx$ 有相同的敛散性，并且收敛时，有 $int _a^+infty kf(x)dx$ ＝ $kint _a^+infty f(x)dx$