狄利克雷函数

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狄利克雷函数（英语：Dirichlet function）是一个定义在实数范围上、值域为[0,1]displaystyle [0,1][0,1]的函数，是處處不連續函數。


当


  1. 自变量xdisplaystyle xx为有理数时，D(x)=1displaystyle D(x)=1D(x)=1；

  2. 自变量xdisplaystyle xx为无理数时，D(x)=0displaystyle D(x)=0D(x)=0。[1]

狄利克雷函数的图像关于ydisplaystyle yy轴成轴对称，是一个偶函数；它处处不连续；处处极限不存在；不可积分。这是一个处处不连续的可测函数。


狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限，如下：


D(x)=limk→∞(limj→∞(cos2j⁡(k!πx)))displaystyle D(x)=lim _kto infty left(lim _jto infty left(cos ^2j(k!pi x)right)right)D(x)=lim _kto infty left(lim _jto infty left(cos ^2j(k!pi x)right)right)，其中kdisplaystyle kk和jdisplaystyle jj为整数



性质


  1. 定义在整个数轴上。

  2. 无法画出图像。

  3. 以任何正有理数为其周期（从而无最小正周期）。

  4. 处处无极限、不连续、不可导。

  5. 在任何区间上不黎曼可积。

  6. 是偶函数。

  7. 它在[0,1]displaystyle [0,1][0,1]上勒贝格可积。

作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限且是以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数），同时这个函数在积分上也有应用，该函数黎曼不可积，而在其它一些积分中是可积的。



参考资料




  1. ^ 同濟大學數學系，「高等數學」第七版 上冊，第九頁 例10







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