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在数学中，有许多定理称为单调收敛定理；这里我们介绍一些主要的例子。

单调实数序列的收敛性

定理

如果a_k是一个单调的实数序列（例如a_k ≤ a_k+1），则这个序列具有极限（如果我们把正无穷大和负无穷大也算作极限的话）。这个极限是有限的，当且仅当序列是有界的。

证明

我们证明如果递增序列⟨an⟩displaystyle langle a_nrangle 有上界，则它是收敛的，且它的极限为supnandisplaystyle sup _na_n。

由于andisplaystyle a_n非空且有上界，因此根据实数的最小上界公理，c=supnandisplaystyle c=sup _na_n存在，且是有限的。现在，对于每一个ε>0displaystyle varepsilon >0，都存在一个aNdisplaystyle a_N，使得aN>c−εdisplaystyle a_N>c-varepsilon ，否则c−εdisplaystyle c-varepsilon 是andisplaystyle a_n的一个上界，这与cdisplaystyle c为最小上界supnandisplaystyle sup _na_n的事实矛盾。于是，由于⟨an⟩displaystyle langle a_nrangle 是递增的，对于所有的n > N，都有|c−an|=c−an≤c−aN<εc-a_n，因此根据定义，⟨an⟩displaystyle langle a_nrangle 的极限为supnandisplaystyle sup _na_n。证毕。

类似地，如果一个实数序列是递减且有下界，则它的最大下界就是它的极限。

单调级数的收敛性

定理

如果对于所有的自然数j和k，a_j,k都是非负实数，且a_j,k ≤ a_j+1,k，则（参见^[1]第168页）：

limj→∞∑kaj,k=∑klimj→∞aj,kdisplaystyle lim _jto infty sum _ka_j,k=sum _klim _jto infty a_j,k

勒贝格单调收敛定理

这个定理是前一个定理的推广，也许就是最重要的单调收敛定理。

定理

设( X, A, μdisplaystyle mu )为一个测度空间。设f1,f2,…displaystyle f_1,f_2,ldots 为μdisplaystyle mu -可测的[0,∞]displaystyle [0,infty ]值单调递增函数。也就是说：

∀x∈X,k∈N,fk(x)≤fk+1(x)displaystyle forall xin X,kin mathbb N ,f_k(x)leq f_k+1(x)。

接着，设序列fndisplaystyle f_n的逐点极限为f。也就是说：

∀x∈X,f(x):=limk→∞fk(x)displaystyle forall xin X,f(x):=lim _kto infty f_k(x)。

那么，f是μdisplaystyle mu -可测的，且（参见^[2]第21.38节）：

limk→∞∫fkdμ=∫fdμdisplaystyle lim _kto infty int f_kdmu =int fdmu 。

证明

我们首先证明f是μdisplaystyle mu -可测函数。为此，只需证明区间[0,t]在f下的原像是X上的σ代数A的一个元素。设I为[0,∞]displaystyle [0,infty ]的一个子区间。那么：

f−1(I)=x∈Xdisplaystyle f^-1(I)=f(x)in I。

另一方面，由于[0,t]是闭区间，因此：

f(x)∈I⇔fk(x)∈I, ∀k∈Ndisplaystyle f(x)in ILeftrightarrow f_k(x)in I,~forall kin mathbb N 。

所以：

x∈X=⋂k∈Nx∈Xdisplaystyle f(x)in I=bigcap _kin mathbb N xin X。

注意可数交集中的每一个集合都是A的一个元素，这是因为它是一个波莱尔子集在μdisplaystyle mu -可测函数fkdisplaystyle f_k下的原像。由于根据定义，σ代数在可数交集下封闭，因此这便证明了f是μdisplaystyle mu -可测的。需要注意的是，一般来说，任何可测函数的最小上界也是可测的。

现在我们证明单调收敛定理的余下的部分。f是μdisplaystyle mu -可测的事实，意味着表达式∫fdμdisplaystyle int fdmu 是定义良好的。

我们从证明∫fdμ≥limk∫fkdμdisplaystyle int fdmu geq lim _kint f_kdmu 开始。

根据勒贝格积分的定义，

∫fdμ=sup∫gdμdisplaystyle int fdmu =supint gdmu ，

其中SF是X上的μdisplaystyle mu -可测简单函数的交集。由于在每一个x∈Xdisplaystyle xin X，都有fk(x)≤f(x)displaystyle f_k(x)leq f(x)，我们便有：

∫gdμ⊆∫gdμ.displaystyle leftint gdmu subseteq leftint gdmu .

因此，由于一个子集的最小上界不能大于整个集合的最小上界，我们便有：∫fdμ≥limk∫fkdμ.displaystyle int fdmu geq lim _kint f_kdmu .

右面的极限存在，因为序列是单调的。

我们现在证明另一个方向的不等式（也可从法图引理推出），也就是说，我们来证明：

∫fdμ≤limk∫fkdμ.displaystyle int fdmu leq lim _kint f_kdmu .

从积分的定义可以推出，存在一个非负简单函数的非递增序列g_n，它几乎处处逐点收敛于f，且：

limk∫gkdμ=∫fdμ.displaystyle lim _kint g_kdmu =int fdmu .

只需证明对于每一个k∈Ndisplaystyle kin mathbb N ，都有：

∫gkdμ≤limj∫fjdμdisplaystyle int g_kdmu leq lim _jint f_jdmu

这是因为如果这对每一个k都成立，那么等式左端的极限也将小于或等于等式右端。

我们证明如果g_k是简单函数，且

limjfj(x)≥gk(x)displaystyle lim _jf_j(x)geq g_k(x)

几乎处处，则：

limj∫fjdμ≥∫gkdμ.displaystyle lim _jint f_jdmu geq int g_kdmu .

由于积分是线性的，我们可以把函数gkdisplaystyle g_k分拆成它的常数部分，化为gkdisplaystyle g_k是σ代数A的一个元素B的指示函数的情况。在这种情况下，我们假设fjdisplaystyle f_j是一个可测函数的序列，它在B的每一个点的最小上界都大于或等于一。

为了证明这个结果，固定ϵ>0displaystyle epsilon >0，并定义可测集合的序列：

Bn=x∈B:fn(x)≥1−ϵ.displaystyle B_n=xin B:f_n(x)geq 1-epsilon .

根据积分的单调性，可以推出对于任何的n∈Ndisplaystyle nin mathbb N ，都有：

μ(Bn)(1−ϵ)=∫(1−ϵ)1Bndμ≤∫fndμdisplaystyle mu (B_n)(1-epsilon )=int (1-epsilon )1_B_ndmu leq int f_ndmu

根据limjfj(x)≥gk(x)displaystyle lim _jf_j(x)geq g_k(x)的假设，对于足够大的n，任何B内的x都将位于Bndisplaystyle B_n内，因此：

⋃nBn=Bdisplaystyle bigcup _nB_n=B。

所以，我们有：

∫gkdμ=∫1Bdμ=μ(B)=μ(⋃nBn).displaystyle int g_kdmu =int 1_Bdmu =mu (B)=mu (bigcup _nB_n).

利用测度的单调性，可得：

μ(⋃nBn)=limnμ(Bn)≤limn(1−ϵ)−1∫fndμdisplaystyle mu (bigcup _nB_n)=lim _nmu (B_n)leq lim _n(1-epsilon )^-1int f_ndmu

取k→∞displaystyle krightarrow infty ，并利用这对任何正数ϵdisplaystyle epsilon 都正确的事实，定理便得证。

参见

• 无穷级数


• 勒贝格控制收敛定理

注释