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由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖

在數學中，一個群 Gdisplaystyle G 被稱作自由群，如果存在 Gdisplaystyle G 的子集 Sdisplaystyle S 使得 Gdisplaystyle G 的任何元素都能唯一地表成由 Sdisplaystyle S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st−1=su−1ut−1displaystyle st^-1=su^-1ut^-1 之類）；此時也稱 Gdisplaystyle G 為集合 Sdisplaystyle S 上的自由群，其群結構決定於集合 Sdisplaystyle S，記為 F(S)displaystyle F(S)，Sdisplaystyle S 稱作一組基底。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。

一個相關但略有不同的概念是自由阿貝爾群（英语：free abelian group）。

歷史

在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。

例子

2個圓環的集束

• 
  整數的加法群 (Z,+)displaystyle (mathbb Z ,+) 是自由群；事實上我們可取 S:=1displaystyle S:=1。


• 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。


• 在代數拓撲學中，kdisplaystyle k 個圓環的集束（即：kdisplaystyle k 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 kdisplaystyle k 個生成元的自由群。

建構方式

今將構造集合 Sdisplaystyle S 上之自由群 F(S)displaystyle F(S)，分解動作如下。

1. 對任何 s∈Sdisplaystyle sin S，引入符號 s−1displaystyle s^-1，稱作 sdisplaystyle s 的逆元。


2. 考慮所有由符號 s,s−1(s∈S)displaystyle s,s^-1;(sin S) 構成的有限字串。


3. 如果一個字串能透過將 ss−1displaystyle ss^-1 或 s−1sdisplaystyle s^-1s 替換為空字串而變為另一個字串，則稱這兩個字串等價；此關係在所有上述字串構成的集合上生成一等價關係，其商集（等價類構成的集合）記作 F(S)displaystyle F(S)。


4. 我們可以藉著對字串長度作數學歸納法，證明此等價關係相容於字串的接合，即：x∼y,x′∼y′⇒xx′∼yy′displaystyle xsim y,x'sim y'Rightarrow xx'sim yy'。故字串接合在 F(S)displaystyle F(S) 導出二元運算，並滿足交換律。


5. 取 F(S)displaystyle F(S) 及字串接合運算構成一個群，字串 s1±1⋯sn±1displaystyle s_1^pm 1cdots s_n^pm 1 之逆為 sn∓1⋯s1∓1displaystyle s_n^mp 1cdots s_1^mp 1。此即所求。

若 Sdisplaystyle S 為空集，則 F(S)displaystyle F(S) 為平凡群。

泛性質

上述構造 F(S)displaystyle F(S) 帶有一個自然的集合映射 ϕ:S→F(S)displaystyle phi :Srightarrow F(S)。這對資料 (F(S),ϕ)displaystyle (F(S),phi ) 滿足以下泛性質：

若 Gdisplaystyle G 為群，ψ:S→Gdisplaystyle psi :Srightarrow G 為集合間的映射，則存在唯一的群同態 f:F(S)→Gdisplaystyle f:F(S)rightarrow G 使得 f∘ϕ=ψdisplaystyle fcirc phi =psi 。

事實上我們僅須，也必須設 f(s1±1⋯sn±1):=ψ(s1)±1⋯ψ(pn)±1displaystyle f(s_1^pm 1cdots s_n^pm 1):=psi (s_1)^pm 1cdots psi (p_n)^pm 1 ；前述構造確保此式給出一個明確定義的群同態。

任兩個滿足上述泛性質的資料 (F1,ϕ1)displaystyle (F_1,phi _1)、(F2,ϕ2)displaystyle (F_2,phi _2) 至多差一個同構，因而刻劃了自由群的群論性質。這種泛性質是泛代數中考慮的自由對象的特例，用範疇論的語言來說，函子 F(−):S↦F(S)displaystyle F(-):Smapsto F(S) 是遺忘函子的左伴隨函子。

性質與定理

• 任何群 Gdisplaystyle G 皆可表為某個自由群的同態像；在上述泛性質中取 Sdisplaystyle S 為 Gdisplaystyle G 的一組生成集，ψ 為包含映射即可。此時 F(S)→Gdisplaystyle F(S)rightarrow G 的核 Rdisplaystyle R 稱作關係，F(S),Kdisplaystyle F(S),K 稱作 Gdisplaystyle G 的一個展示；若 Sdisplaystyle S 有限，則稱之為有限展示。一個群可以有多種展示，而且不存在判斷兩個展示給出的群是否同構的演算法。


• 如果 Sdisplaystyle S 有超過一個元素，則 F(S)displaystyle F(S) 非交換；事實上 F(S)displaystyle F(S) 的中心只有單位元素。


• 任兩個自由群 F(S),F(T)displaystyle F(S),F(T) 同構的充要條件是 S,Tdisplaystyle S,T 基數相同，此基數稱作自由群的階。

以下是一些相關定理：

• Jakob Nielsen 與 Otto Schreirer 的定理：自由群的子群也是自由群。若 Gdisplaystyle G 為 ndisplaystyle n 階，(G:H)=kdisplaystyle (G:H)=k，則 Hdisplaystyle H 為 1−n+nkdisplaystyle 1-n+nk 階（在此設 n,kdisplaystyle n,k 有限）。


• 設 Fdisplaystyle F 為超過一階的自由群；則對任意可數基數 ndisplaystyle n，Fdisplaystyle F 中都存在 ndisplaystyle n 階的自由子群。

自由群雖然看似是離散的對象，卻可藉微分幾何或拓撲學工具研究，上述 Nielsen-Schreirer 定理就是一例（可運用同倫上纖維的構造證明）；這套技術屬於幾何群論的一支。

自由阿貝爾群

將上述泛性質中的「群」替換成「阿貝爾群」，遂得到自由阿貝爾群的泛性質。集合 Sdisplaystyle S 上的自由阿貝爾群可視為自由 Zdisplaystyle mathbb Z -模來構造，或取作 F(S)displaystyle F(S) 的「交換化」： F(S)/[F(S),F(S)]displaystyle F(S)/[F(S),F(S)]（換言之，在考慮字串時不計符號順序）。

塔斯基的問題

塔斯基在1945年左右提出下述問題：

兩個以上生成元的自由群是否有相同的一階理論？此理論是否可判定？

目前已有兩個團隊獨立給出肯定的答案，但雙方的證明都尚未被認可。請參見網址 [1] 的「O8」。

文獻

• 
  Kharlampovich, Olga; Myasnikov, Alexei, Elementary theory of free non-abelian groups, J. Algebra, 2006, 302 (2): 451–552, doi:10.1016/j.jalgebra.2006.03.033, 數學評論2293770 
  


• W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).

• 
  Sela, Z., Diophantine geometry over groups. VI. The elementary theory of a free group., Geom. Funct. Anal. 16, 2006, (3): 707–730, 數學評論2238945 
  


• J.-P. Serre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL₂", 3rd edition, astérisque 46 (1983))