环面

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一个环面。




目录





  • 1 几何


  • 2 拓扑


  • 3 n维环面


  • 4 环面着色


  • 5 参見


  • 6 外部链接




几何


在几何上，一个环面是一个甜甜圈形状的旋转曲面，由一个圆绕一个和该圆共面的一个轴回转所生成。球面可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的直径时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个甜甜圈，一个呼啦圈，或者一个充了气的轮胎。另一个情况，也就是轴是圆的一根弦的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文Torus曾是拉丁文的这种形状的座垫。


圆环面可以参数式地定义为：


x(u,v)=(R+rcos⁡v)cos⁡udisplaystyle x(u,v)=(R+rcos v)cos u,displaystyle x(u,v)=(R+rcos v)cos u,

y(u,v)=(R+rcos⁡v)sin⁡udisplaystyle y(u,v)=(R+rcos v)sin u,displaystyle y(u,v)=(R+rcos v)sin u,

z(u,v)=rsin⁡vdisplaystyle z(u,v)=rsin v,displaystyle z(u,v)=rsin v,

其中



u, v ∈ [0, 2π],


R是管子的中心到画面的中心的距离，


r是圆管的半径。

直角坐标系中的关于z-轴方位角对称的环面方程是


(R−x2+y2)2+z2=r2displaystyle left(R-sqrt x^2+y^2right)^2+z^2=r^2displaystyle left(R-sqrt x^2+y^2right)^2+z^2=r^2

该圆环面的表面积和内部体积如下


A=4π2Rr=(2πr)(2πR)displaystyle A=4pi ^2Rr=left(2pi rright)left(2pi Rright),displaystyle A=4pi ^2Rr=left(2pi rright)left(2pi Rright),

V=2π2Rr2=(πr2)(2πR).displaystyle V=2pi ^2Rr^2=left(pi r^2right)left(2pi Rright).,displaystyle V=2pi ^2Rr^2=left(pi r^2right)left(2pi Rright).,

根据更一般的定义，环面的生成元不必是圆，而可以是椭圆或任何圆锥曲线。



拓扑




一个环面是两个圆的乘积。




将一个有小洞的环面翻转。


拓扑学上，一个环面是一个定义为两个圆的积的闭合曲面：S1 × S1。
上述曲面，若采用R3诱导的相对拓扑，则同胚于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。


该环面也可用欧几里得平面的一个商空间来表述，这是通过如下的等价关系来完成的


(x,y) ~ (x+1,y) ~ (x,y+1)

或者等价地说，作为单位正方形将对边粘合的商空间，表述为基本多边形 ABA−1B−1displaystyle ABA^-1B^-1displaystyle ABA^-1B^-1。


环面的基本群是圆的基本群和自身的直积：


π1(T2)=π1(S1)×π1(S1)≅Z×Zdisplaystyle pi _1(mathbb T ^2)=pi _1(S^1)times pi _1(S^1)cong mathbb Z times mathbb Z displaystyle pi _1(mathbb T ^2)=pi _1(S^1)times pi _1(S^1)cong mathbb Z times mathbb Z

直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭路径可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。


环面的第一同调群和基本群同构（因为基本群是交换群）。



n维环面


环面很容易推广到任意维。n维环面可以定义为n个圆的乘积：


Tn=S1×S1×⋯×S1displaystyle mathbb T ^n=S^1times S^1times cdots times S^1displaystyle mathbb T ^n=S^1times S^1times cdots times S^1

上面所述的环面就是2维环面。1维环面就是圆。3维环面很难描述。和2维环面一样，n维环面可以表述为Rn在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即，n维环面是Rn模(modulo)整数格点Zn的群作用（该作用就是向量和）。等价地说，n维环面是n维立方体把相对的面两两粘合起来得到的空间。


n维环是n维紧致流形的一个例子。它也是紧致可交换李群的一个例子。这是因为单位圆是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度复数来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。


环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个极大环面；也就是最大可能维度的闭子群环面。


n维环面的基本群是一个n阶自由可交换群。n维环面的k阶同调群是n取k阶的自由可交换群。因此可以推出n维环面的欧拉示性数 是0。上同调环H·(Tn,Z)可以等同为Z-模 Zn上的外代数，其生成元为n非平凡闭链的对偶。



环面着色


如果把环面分成若干区域，那么总是可以用最多7种颜色来着色，使得每对相邻区域有不同的颜色。（这和四色问题不同。）在下面的例子中，环面被分为7个区域，两两相邻，说明7色是必须的：Torus-with-seven-colours.png



参見


  • 代数环面

  • 圆环

  • 環圈

  • 椭圆曲线

  • 极大环面

  • 周期格

  • 球面

  • 曲面

  • 环体

  • 环面 (原子物理)

  • Villarceau圆

  • 环面曲线


外部链接



  • 环面的建立 位于网站


  • 更多环的图像 (位于 趣味数学)

  • Eric W. Weisstein. "环面." 位于MathWorld--Wolfram网络资源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html


  • 气泡圈的图像和视频 位于David Whiteis的BubbleRings.com



规范控制

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