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三维空间中的克莱因瓶

在数学领域中，克莱因瓶（德語：Kleinsche Flasche）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。

要想像克萊因瓶的結構，可先試想一個底部鏤空的紅酒瓶。現在延長其頸部，向外扭曲後伸進瓶子的內部，再與底部的洞相連接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

其名稱可能源自德語中的「Kleinsche Fläche」（克萊因平面），後來被誤解為「Kleinsche Flasche」（克萊因瓶）。德語最終也沿用了「克萊因瓶」這種稱呼。^[1]

性质

从拓扑学角度上看，克莱因瓶可以定义为[0,1] × [0,1]的矩阵，边定义为(0,y) ~ (1,y)，其中0 ≤ y ≤ 1；和(x,0) ~ (1-x,1)，其中0 ≤ x ≤ 1。

可以用图表示为

就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间，克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

参数化

克莱因瓶的参数十分复杂：

x(u,v)=−215cos⁡u(3cos⁡v−30sin⁡u+90cos4⁡usin⁡u−60cos6⁡usin⁡u+5cos⁡ucos⁡vsin⁡u)y(u,v)=−115sin⁡u(3cos⁡v−3cos2⁡ucos⁡v−48cos4⁡ucos⁡v+48cos6⁡ucos⁡v−60sin⁡u+5cos⁡ucos⁡vsin⁡u−5cos3⁡ucos⁡vsin⁡u−80cos5⁡ucos⁡vsin⁡u+80cos7⁡ucos⁡vsin⁡u)z(u,v)=215(3+5cos⁡usin⁡u)sin⁡v(0≤u<π,0≤v<2π)displaystyle beginaligned&x(u,v)=-frac 215cos u(3cos v-30sin u+90cos ^4usin u-60cos ^6usin u+5cos ucos vsin u)\&y(u,v)=-frac 115sin u(3cos v-3cos ^2ucos v-48cos ^4ucos v+48cos ^6ucos v-60sin u+5cos ucos vsin u\&quad quad quad quad -5cos ^3ucos vsin u-80cos ^5ucos vsin u+80cos ^7ucos vsin u)\&z(u,v)=frac 215(3+5cos usin u)sin v\&(0leq u<pi ,0leq v<2pi )endaligned

还有一个较简单的

x(u,v)=cos⁡u(cos⁡u2(2+cos⁡v)+sin⁡u2sin⁡vcos⁡v)y(u,v)=sin⁡u(cos⁡u2(2+cos⁡v)+sin⁡u2sin⁡vcos⁡v)z(u,v)=−sin⁡u2(2+cos⁡v)+cos⁡u2sin⁡vcos⁡vdisplaystyle beginaligned&x(u,v)=cos u(cos frac u2(sqrt 2+cos v)+sin frac u2sin vcos v)\&y(u,v)=sin u(cos frac u2(sqrt 2+cos v)+sin frac u2sin vcos v)\&z(u,v)=-sin frac u2(sqrt 2+cos v)+cos frac u2sin vcos vendaligned

参看

维基共享资源中相关的多媒体资源：克莱因瓶

• 莫比乌斯带


• 三叶结


• 衔尾蛇

参考资料