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在數學中，同倫群是拓撲空間的一種同倫不變量。同倫群的研究是同倫理論的基石之一，一般空間的同倫群極難計算，即使對球面 Sndisplaystyle S^n 的情形，至今也沒有完整結果。

定義

設 Xdisplaystyle X 為拓撲空間而 Sndisplaystyle S^n 為 ndisplaystyle n 維球面。選定基點 a∈Sn,x∈Xdisplaystyle ain S^n,xin X。定義 πn(X,x)displaystyle pi _n(X,x) 為 [Sn,X]displaystyle [S^n,X]，也就是由保持基點的連續映射 f:Sn→Xdisplaystyle f:S^nto X 的同倫類構成的集合。為了方便起見，以緯垂坐標表示球面上的點，即：s1∧⋯∧sndisplaystyle s_1wedge cdots wedge s_n 表示 (s1,…,sn)∈[0,1]ndisplaystyle (s_1,ldots ,s_n)in [0,1]^n 在商映射 [0,1]n→[0,1]n/∂([0,1]n)≃Sndisplaystyle [0,1]^nto [0,1]^n/partial ([0,1]^n)simeq S^n 下的像。取 Sndisplaystyle S^n 的基點為 a=0∧⋯∧0displaystyle a=0wedge cdots wedge 0。

注意到當 n=0displaystyle n=0 時，S0=−1,1displaystyle S^0=-1,1 而 π0(X,x)displaystyle pi _0(X,x) 的元素一一對應到 Xdisplaystyle X 的連通分支。

基本群的群運算

對於 n≥1displaystyle ngeq 1，πn(X,x)displaystyle pi _n(X,x) 帶有自然的群結構：首先，我們構造一個連續映射：

s:Sn→Sn∨Sndisplaystyle s:S^nto S^nvee S^n

在此 Sn∨Sndisplaystyle S^nvee S^n 定義為將兩份 Sndisplaystyle S^n 沿基點黏合得到的拓撲空間。映射 sdisplaystyle s 定義為

s(x1∧⋯∧xn)={x1∧⋯∧xn−1∧(1−2xn),xn≤12x1∧⋯∧xn−1∧(2xn−1),xn≥12displaystyle s(x_1wedge cdots wedge x_n)=begincasesx_1wedge cdots wedge x_n-1wedge (1-2x_n),&x_nleq frac 12\x_1wedge cdots wedge x_n-1wedge (2x_n-1),&x_ngeq frac 12endcases

直觀來看，sdisplaystyle s 的效應相當於將球面 Sndisplaystyle S^n 沿赤道掐扁。

給定 f,g:In→Xdisplaystyle f,g:I^nto X，我們定義 f∗g:=(f⊔g)∘sdisplaystyle f*g:=(fsqcup g)circ s，由於 f(a)=g(a)=xdisplaystyle f(a)=g(a)=x，此函數有完善的定義。此外也不難驗證 f∗gdisplaystyle f*g 僅依賴於 f,gdisplaystyle f,g 的同倫類。

可以證明運算 f,g↦f∗gdisplaystyle f,gmapsto f*g 滿足群公理，其單位元素為常值映射 ∀s∈Sn,e(s)=xdisplaystyle forall sin S^n,;e(s)=x。π1(X,x)displaystyle pi _1(X,x) 不外就是基本群；而當 n≥2displaystyle ngeq 2 時，πn(X,x)displaystyle pi _n(X,x) 是阿貝爾群，稱為高階同倫群。不同基點對應的同倫群只差一個自然同構。

若在定義中省掉基點，則得到的集合 [Sn,X]displaystyle [S^n,X] 等同於 πn(X,x)displaystyle pi _n(X,x) 在 π1(X,x)displaystyle pi _1(X,x) 作用下的軌道集。可見若 π1(X,x)≠0displaystyle pi _1(X,x)neq 0，[Sn,X]displaystyle [S^n,X] 未必有自然的群結構。

纖維化導出長正合序列

設 p:E→Bdisplaystyle p:Eto B 為保基點的塞爾纖維化，纖維的同倫類定義為 Fdisplaystyle F。此時可導出同倫群的長正合序列（以下略去基點）：

⋯→πn(F)→πn(E)→πn(B)→πn−1(F)→⋯→π0(E)→π(B)→1displaystyle cdots to pi _n(F)to pi _n(E)to pi _n(B)to pi _n-1(F)to cdots to pi _0(E)to pi (B)to 1

儘管這裡的 π0displaystyle pi _0 只是個集合，而 π1displaystyle pi _1 未必是阿貝爾群，它們仍帶有特殊的元素（πn≥1displaystyle pi _ngeq 1 的單位元、π0displaystyle pi _0 中包含基點的連通分支），可以用這些元素定義正合序列。

纖維化映射是計算高階同倫群的基本手段。

相對同倫群

給定 A⊂Xdisplaystyle Asubset X，可以定義相對同倫群 πn(X,A)displaystyle pi _n(X,A) 為映射 f:(Dn,Sn−1)→(X,x)displaystyle f:(D^n,S^n-1)to (X,x) 的同倫類，這意味著我們僅考慮滿足 f(Sn−1)=xdisplaystyle f(S^n-1)=x 的連續映射，以及其間滿足相同限制的同倫。若取 Adisplaystyle A 為一點，便回到同倫群的原始定義。相對同倫群也有纖維化長正合序列。

文獻

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  Hatcher, Allen, Algebraic topology, Cambridge University Press, 2002, ISBN 978-0-521-79540-1