邻域
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在平面上集合V是点p的邻域，如果围绕p小圆盘包含在V中。
矩形不是它的任何一角的邻域。
在集合论中，邻域指以点 a 为中心的任何开区间，记作：U(a)。
在拓扑学和相关的数学领域中，邻域是拓扑空间中的基本概念。直觉上说，一个点的邻域是包含这个点的集合，並且該性質是外延的：你可以稍微“抖动”一下这个点而不离开这个集合。
这个概念密切关联于开集和内部的概念。
目录
1 定义
2 鄰域的度量空间定義
2.1 一致邻域
2.2 非一致邻域的例子
2.3 去心邻域
3 基于邻域的拓扑
4 引用
5 参见
定义
在集合论中，有以下几种邻域：
δdisplaystyle delta邻域：U(a,δ)=(a−δ,a+δ)=x−adisplaystyle U(a,delta )=(a-delta ,a+delta )=left<delta right
去心邻域：U0(a,δ)=<δdisplaystyle U_0(a,delta )=leftx-a
左邻域：(a−δ,a)displaystyle (a-delta ,a)
右邻域：(a,a+δ)displaystyle (a,a+delta )
在拓扑学中，拓扑空间X，A，B⊆X，称B是A的邻域，当且仅当以下条件之一成立：
- 存在开集C，使得A⊆C⊆B。
- A⊆Bo。（Bo是B的内部）
- 开邻域，闭邻域
- 若B是开集，则B称为A的开邻域；若B是闭集，则B称为A的闭邻域。
- 邻域系统
- 设x∈X，则x所有邻域的集合U(x)，称为x（或x）的邻域系统。
注意：某些作者要求邻域是开集，所以在阅读文献时注意约定是很重要的。
如果S是X的子集，S的邻域是集合V，它包含了包含S的开集U。可得出集合V是S的邻域，当且仅当它是在S中的所有点的邻域。
鄰域的度量空间定義
平面上的集合S和S的一致邻域V。
在度量空间M = (X,d)中，集合V是点p的邻域，如果存在以p为中心和半径为r的开球，
- Br(p)=B(p;r)=x∈X∣d(x,p)<rdisplaystyle B_r(p)=B(p;r)=xin Xmid d(x,p)<r
它被包含在V中。
一致邻域
V叫做集合S的一致邻域（uniform neighborhood），如果存在正数r使得对于S的所有元素p，
- Br(p)=x∈X∣d(x,p)<rdisplaystyle B_r(p)=xin Xmid d(x,p)<r
被包含在V中。
对于r>0集合S的r-邻域Srdisplaystyle S_r
可直接得出r-邻域是一致邻域，并且一个集合是一致邻域当且仅当它包含对某个r值的r-邻域。
參見一致空間。
非一致邻域的例子
给定实数集合R带有平常的欧几里得度量和如下定义的子集V
V:=⋃n∈NB(n;1n)displaystyle V:=bigcup _nin mathbb N Bleft(n,;,frac 1nright)，
则V是自然数集合N的邻域，但它不是这个集合的均勻邻域，因為r=1ndisplaystyle r=frac 1n
去心邻域
点 pdisplaystyle p
基于邻域的拓扑
上述定义適用於开集的概念早已定义的情況。有另一种方式来定义拓扑，也就是先定义邻域系统，再定义开集：若集中每个点皆有一個邻域被包含於集中，則為開集。
在X上的邻域系统是滤子N(x)(在集合X上)到每个X中的x的指派，使得
- 点x是每个N(x)中的U的元素，
- 每个N(x)中的U包含某个N(x)中的V使得对于每个V中的y有着U在N(y)中。
可以证明这两个定义是兼容的，就是说从使用开集定义的邻域系统获得的拓扑就是最初的拓扑，反之从邻域系统出发亦然。
引用
Kelley, John L. General topology. New York: Springer-Verlag. 1975. ISBN 0387901256.
Bredon, Glen E. Topology and geometry. New York: Springer-Verlag. 1993. ISBN 0387979263.
Kaplansky, Irving. Set Theory and Metric Spaces. American Mathematical Society. 2001. ISBN 0821826948.
参见
- 局部基
- 第一可数空间
- 管状邻域
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