开集
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開集是指不包含任何自己邊界點的集合。或者說，開集包含的任意一點的充分小的鄰域都包含在其自身中。
满足x2+y2=r2displaystyle x^2+y^2=r^2
的点(x,y)displaystyle (x,y)
着蓝色。满足x2+y2<r2displaystyle x^2+y^2<r^2
的点(x,y)displaystyle (x,y)着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。例如，实数线上的由不等式2<x<5displaystyle 2<x<5,
开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。（详细请参照拓扑空间）
目录
1 定义
1.1 函数分析
1.2 欧几里得空间
1.3 度量空间
1.4 拓扑空间
2 性质
3 例子
4 用处
5 相关条目
6 注释
定义
可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。
函数分析
在Rn中点集是开集，如果在这个集合的所有点P都是内部点。
欧几里得空间
n维欧几里得空间Rn的子集U是开集，如果给定任何在U中的点x，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何Rn中点y，有着从x到它的欧几里得距离小于ε，则y也属于U。等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。
度量空间
度量空间(M,d)的子集U是开集，如果给定任何U中的点x，存在一个实数ε > 0使得，如果给定任何M中的点y，有d(x,y) < ε，则y也属于U。（等价的说，U是开集，如果所有U中的点有包含在U中的邻域。）
这推广了欧几里得空间的例子，因为带有欧几里得距离的欧几里得空间也是度量空间。
拓扑空间
在拓扑空间中，开集是基础性的概念。你可以從任意集合X出發，再選取X的某個特定的子集族T，使T中的集合都满足作為開集應有的每一性质。这樣的子集族T被叫做X上的“拓扑”，而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 (X,T)的开集。注意开集的无限交集不必為开集。若一個集合可以被构造为可数多个开集的交集，則稱其为Gδ集合。
开集的拓扑定义推广了度量空间定义：如果你從一个度量空间出發并如上述般定义开集，则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。因此自然地，任何度量空间都是拓扑空间。（但有不是度量空间的拓扑空间。）
性质
空集是開集（注意空集也是閉集）。- 定义拓扑的集合X既开又闭。
- 任意个开集的并集是开集。[註 1]
- 有限个开集的交集是开集。[註 2]
例子
度量空间(X,d)displaystyle (X,d)中，以点x∈Xdisplaystyle xin X
为中心，εdisplaystyle varepsilon
为半径的球体B(x,ε)displaystyle B(x,varepsilon )
为开集，任意的开集Adisplaystyle A
包含以x∈Adisplaystyle xin A
为中心，充分小的εdisplaystyle varepsilon
流形中的开集为子流形。
用处
开集在拓扑学分支中有著基础的重要性。當定义拓扑空间和其他拓扑结构（处理邻近性与收敛此類概念，比如度量空间和一致空间）時，都會用到开集的概念。
拓扑空间X的每個子集A都包含至少一个（可能为空）开集；最大的这种开集被叫做A的内部。它可以通过取包含在A中的所有开集的并集来构造。
给定拓扑空间X和Y，从X到Y的函数f是连续的，如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射，如果在X中的所有开集的像是Y中的开集。
实直线上的开集都是可数個不相交开区间的并集。
相关条目
- 拓扑空间
- 度量空间
- 闭集
- 闭开集
注释
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^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。
^ 直观上，开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如，三维欧式空间上以原点为中心的开球，半径为1.1、1.01、1.001、...，其交集为半径为1.0的闭球。
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