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在实分析中，由黎曼创立的黎曼积分（英语：Riemann integral）首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义。黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

概念

作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分

对于一在区间[a,b]displaystyle lbrack a,brbrack 上之给定非负函数f(x)displaystyle f(x)，我们想要确定f(x)displaystyle f(x)所代表的曲线与Xdisplaystyle X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为

S=∫abf(x)dx.displaystyle S=int _a^bf(x)dx.

黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。同时請注意，如f(x)displaystyle f(x)取负值，则相应的面积值Sdisplaystyle S亦取负值。

一列黎曼和。右上角的数字表示矩形面积总和。这列黎曼和趋于一个定值，记为此函数的黎曼积分。

定义

区间的分割

一个闭区间[a,b]displaystyle [a,b]的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<…<xn=bdisplaystyle a=x_0<x_1<x_2<ldots <x_n=b。每个闭区间[xi,xi+1]displaystyle [x_i,x_i+1]叫做一个子区间。定义λdisplaystyle lambda 为这些子区间长度的最大值：λ=max(xi+1−xi)displaystyle lambda =max(x_i+1-x_i)，其中0≤i≤n−1displaystyle 0leq ileq n-1。

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]displaystyle [a,b]的一个取样分割是指在进行分割a=x0<x1<x2<…<xn=bdisplaystyle a=x_0<x_1<x_2<ldots <x_n=b后，于每一个子区间中[xi,xi+1]displaystyle [x_i,x_i+1]取出一点xi≤ti≤xi+1displaystyle x_ileq t_ileq x_i+1。λdisplaystyle lambda 的定义同上。

精细化分割：设x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n以及t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1构成了闭区间[a,b]displaystyle [a,b]的一个取样分割，y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m和s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤ndisplaystyle 0leq ileq n，都存在r(i)displaystyle r(i)使得xi=yr(i)displaystyle x_i=y_r(i)，并存在r(i)≤j≤r(i+1)displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)使得ti=sjdisplaystyle t_i=s_j，那么就把分割：y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m、s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1称作分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1的一个精细化分割。简单来说，就是说后一个分割是在前一个分割的基础上添加一些分点和标记。

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼和

对一个在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]有定义的实值函数fdisplaystyle f，fdisplaystyle f关于取样分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1的黎曼和（积分和）定义为以下和式：

∑i=0n−1f(ti)(xi+1−xi)displaystyle sum _i=0^n-1f(t_i)(x_i+1-x_i)

和式中的每一项是子区间长度xi+1−xidisplaystyle x_i+1-x_i与在tidisplaystyle t_i处的函数值f(ti)displaystyle f(t_i)的乘积。直观地说，就是以标记点tidisplaystyle t_i到X轴的距离为高，以分割的子区间为长的矩形的面积。

黎曼积分

不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。下面的证明中，会对“越来越‘精细’”作出严格的定义。

要使得“越来越‘精细’”有效，需要把λdisplaystyle lambda 趋于0。如此[xi,xi+1]displaystyle [x_i,x_i+1]中的函数值才会与f(ti)displaystyle f(t_i)接近，矩形面积的和与“曲线下方”的面积的差也会越来越小。实际上，这就是黎曼积分定义的大概描述。

严格定义如下：Sdisplaystyle S是函数fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ϵ>0displaystyle epsilon >0，都存在δ>0displaystyle delta >0，使得对于任意的取样分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1，只要它的子区间长度最大值λ≤δdisplaystyle lambda leq delta ，就有：

|∑i=0n−1f(ti)(xi+1−xi)−S|<ϵ.displaystyle left

也就是说，对于一个函数fdisplaystyle f，如果在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数fdisplaystyle f的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数fdisplaystyle f为黎曼可积的。

这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有λ≤δdisplaystyle lambda leq delta 的取样分割是难以做到的。下面引进另一个定义，然后证明它们是等价的。

另一个定义: Sdisplaystyle S是函数fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的ϵ>0displaystyle epsilon >0，都存在一个取样分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1，使得对于任何比其“精细”的分割y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m and s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1，都有：

|∑i=0m−1f(si)(yi+1−yi)−S|<ϵ.displaystyle left

这两个定义是等价的。如果有一个Sdisplaystyle S满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个Sdisplaystyle S满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值λ≤δdisplaystyle lambda leq delta 的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于δdisplaystyle delta ，于是满足

|∑i=0m−1f(si)(yi+1−yi)−S|<ϵ.displaystyle left

其次证明满足第二个定义的Sdisplaystyle S也满足第一个定义。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的，具体见达布积分。其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n使得它的上达布和与下达布和都与Sdisplaystyle S相差不超过ϵ2displaystyle frac epsilon 2。令rdisplaystyle r等于max0≤i≤n−1(Mi−mi)displaystyle max _0leq ileq n-1(M_i-m_i)，其中Midisplaystyle M_i和midisplaystyle m_i是fdisplaystyle f在[xi,xi+1]displaystyle [x_i,x_i+1]上的上确界和下确界。再令δdisplaystyle delta 是ϵ2rndisplaystyle frac epsilon 2rn和min0≤i≤n−1(xi+1−xi)displaystyle min _0leq ileq n-1(x_i+1-x_i)中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于δdisplaystyle delta 时，fdisplaystyle f关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差ϵ2displaystyle frac epsilon 2，所以和Sdisplaystyle S至多相差ϵdisplaystyle epsilon 。

由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。

黎曼积分的性质

• 线性性：黎曼积分是线性变换，也就是说，如果fdisplaystyle f和gdisplaystyle g在区间[a,b]displaystyle [a,b]上黎曼可积，αdisplaystyle alpha 和βdisplaystyle beta 是常数，则：

∫ab(αf+βg)dx=α∫abf(x)dx+β∫abg(x)dx.displaystyle int _a^b(alpha f+beta g),dx=alpha int _a^bf(x),dx+beta int _a^bg(x),dx.

由于一个函数的黎曼积分是一个实数，因此在固定了一个区间[a,b]displaystyle [a,b]后，将一个黎曼可积的函数设到其黎曼积分的映射I:f⟶∫abfdxdisplaystyle I:flongrightarrow int _a^bfdx是所有黎曼可积的函数空间上的一个线性泛函。

• 正定性：如果函数fdisplaystyle f在区间[a,b]displaystyle [a,b]上几乎处处（勒贝格测度意义上）大于等于0，那么它在[a,b]displaystyle [a,b]上的积分也大于等于零。如果fdisplaystyle f在区间[a,b]displaystyle [a,b]上几乎处处大于等于0，并且它在[a,b]displaystyle [a,b]上的积分等于0，那么fdisplaystyle f几乎处处为0。

• 可加性：如果函数fdisplaystyle f在区间[a,c]displaystyle [a,c]和[c,b]displaystyle [c,b]上都可积，那么fdisplaystyle f在区间[a,b]displaystyle [a,b]上也可积，并且有

∫abfdx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dxdisplaystyle int _a^bfdx=int _a^cf(x),dx+int _c^bf(x),dx

无论a、b、c之间的大小关系如何，以上关系式都成立。

• 
  [a,b]displaystyle [a,b]上的实函数fdisplaystyle f是黎曼可积的，当且仅当它是有界和几乎处处连续的。

• 如果[a,b]displaystyle [a,b]上的实函数是黎曼可积的，则它是勒贝格可积的。

• 如果fndisplaystyle f_n是[a,b]displaystyle [a,b]上的一个一致收敛序列，其极限为fdisplaystyle f，那么：

∫abfdx=∫ablimn→∞fndx=limn→∞∫abfndx.displaystyle int _a^bf,dx=int _a^blim _nto infty f_n,dx=lim _nto infty int _a^bf_n,dx.

• 如果一个实函数在区间[a,b],displaystyle [a,b],上是单调的，则它是黎曼可积的，因为其中不连续的点集是可数集。

黎曼积分的推广

黎曼积分可推广到值属于ndisplaystyle n维空间Rndisplaystyle mathbb R ^n的函数。积分是线性定义的，即如果f=(f1,…,fn)displaystyle mathbf f =(f_1,dots ,f_n)，则∫f=(∫f1,…,∫fn)displaystyle int mathbf f =(int f_1,,dots ,int f_n)。特别地，由于复数是实数向量空间，故值为复数的函数也可定义积分。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同反常积分（improper integral）一样。我们可以令

∫−∞∞f(t)dt=limx→∞∫−xxf(t)dt.displaystyle int _-infty ^infty f(t),dt=lim _xto infty int _-x^xf(t),dt.

不幸的是，这并不是很合适。平移不变性（如果把一个函数向左或向右平移，它的黎曼积分应该保持不变）丧失了。例如，令f(x)=1displaystyle f(x)=1若x>0displaystyle x>0，f(0)=0displaystyle f(0)=0，f(x)=−1displaystyle f(x)=-1若x<0displaystyle x<0。则对所有xdisplaystyle x

∫−xxf(t)dt=∫−x0f(t)dt+∫0xf(t)dt=−x+x=0displaystyle int _-x^xf(t),dt=int _-x^0f(t),dt+int _0^xf(t),dt=-x+x=0.

但如果我们将f(x)displaystyle f(x)向右平移一个单位得到f(x−1)displaystyle f(x-1)，则对所有x>1displaystyle x>1，我们得到

∫−xxf(t−1)dt=∫−x1f(t−1)dt+∫1xf(t−1)dt=−(x+1)+(x−1)=−2displaystyle int _-x^xf(t-1),dt=int _-x^1f(t-1),dt+int _1^xf(t-1),dt=-(x+1)+(x-1)=-2.

由于这是不可接受的，我们可以尝试定义：

∫−∞∞f(t)dt=lima→−∞limb→∞∫abf(t)dt.displaystyle int _-infty ^infty f(t),dt=lim _ato -infty lim _bto infty int _a^bf(t),dt.

此时，如果尝试对上面的fdisplaystyle f积分，我们得到+∞displaystyle +infty ，因为我们先使用了极限b→∞displaystyle bto infty 。如果使用相反的极限顺序，我们得到−∞displaystyle -infty 。

这同样也是不可接受的，我们要求积分存在且与积分顺序无关。即使这满足，依然不是我们想要的，因为黎曼积分与一致极限不再具有可交换性。例如，令fn(x)=1/ndisplaystyle f_n(x)=1/n在[0,n]displaystyle [0,n]上，其它域上等于0。对所有ndisplaystyle n，∫fndx=1displaystyle int f_n,dx=1。但fndisplaystyle f_n一致收敛于0，因此limfndisplaystyle lim f_n的积分是0。因此∫fdx≠lim∫fndxdisplaystyle int f,dxnot =lim int f_n,dx。即使这是正确的值，可看出对于极限与普通积分可交换的重要准则对反常积分不适用。这限制了黎曼积分的应用。

一个更好的途径是抛弃黎曼积分而采用勒贝格积分。虽然勒贝格积分是黎曼积分的扩展这点看上去并不是显而易见，但不难证明每个黎曼可积函数都是勒贝格可积的，并且当二者都有定义时积分值也是一致的。

事实上黎曼积分的一个直接扩展是Henstock–Kurzweil积分。

扩展黎曼积分的另一种途径是替换黎曼累加定义中的因子xi−xi+1displaystyle x_i-x_i+1，粗略地说，这给出另一种意义上长度间距的积分。这是黎曼-斯蒂尔切斯积分所采用的方法。

相关条目

• 不定积分


• 积分


• 勒贝格积分


• 黎曼－斯蒂尔杰斯积分


• 數值積分


• 达布积分

参考文献

• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0486635198.