连通空间
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R² 的连通和不连通子空间。上面的空间 A 是连通的，下面的空间 B 是不连通的。
目录
1 定义
2 连通单元
3 其它连通性定义
3.1 道路连通，弧连通
3.2 局部连通
4 例子
5 參考文獻
定义
拓扑空间X称为是连通的。当且仅当以下叙述之一成立：
- X不能表示为两个不相交的非空开集的并集。
- ∀A⊆X，A≠X或∅，A-∩(X-A)-≠∅。
一个拓扑空间被称为是不连通的，若它不是连通的。
连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质，即两个拓扑空间之间若存在一个同胚映射，其中一个空间是连通的，则另一个空间也是连通的。
一些数学家承认空集(按照它独有的拓扑)是连通空间，不过也有数学家不承认这一点。
连通单元
- 连通子集
- 拓扑空间X的子集A称为连通的，当且仅当A诱导的子拓扑空间是连通的。
- 连通单元
- 拓扑空间的极大连通子集称作连通单元。
- 完全不连通空间
- 拓扑空间X称为完全不连通空间，当且仅当X的连通单元都是单元素集合。
每个空间都能表成它的连通单元的不相交并集。
连通单元必然是闭的，在够好的空间（如流形、代数簇）上也同时是开的，但并非总是如此。
其它连通性定义
道路连通，弧连通
R² 的这个子空间是道路连通的，因为在这个空间的任何两点之间可绘制一个道路。
- 称拓扑空间X是道路连通空间，当且仅当∀x,y∈X，存在连续函数γ:[0,1]→Xdisplaystyle gamma :[0,1]to X
使得 γ(0)=x,γ(1)=ydisplaystyle gamma (0)=x,gamma (1)=y
。若γdisplaystyle gamma
可取为使得 [0,1]→γ([0,1])displaystyle [0,1]to gamma ([0,1])
为同胚，则称X为弧连通空间。
道路连通空间是连通空间，反之不一定。
道路连通的豪斯多夫空间必为弧连通空间。
局部连通
拓扑空间X称为局部连通的，当且仅当以下叙述之一成立：
- 空间中的任一点都存在连通的邻域（即该邻域是X的连通子集）。
- 空间的拓扑基完全由连通的集合组成。
例子
拓扑学家的正弦曲线。在平面欧几里得空间R2displaystyle mathbb R ^2中定义集合
S=(x,sin1x)displaystyle S=(x,sin frac 1x)和T=y∈[0,1]displaystyle T=(0,y)。考虑S∪Tdisplaystyle Scup T在R2displaystyle mathbb R ^2
有理数集上的连通单元都是单元素集合，所以有理数集是一个完全不连通空间。
![S=xin (0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b904897708f1349ebc5623bfcfcbb6111fa7ca3b)
參考文獻
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V. I. Malykhin, Connected space, (编) Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
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