自由群
Clash Royale CLAN TAG #URR8PPP 由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖 在數學中，一個群 Gdisplaystyle G 被稱作 自由群 ，如果存在 Gdisplaystyle G 的子集 Sdisplaystyle S 使得 Gdisplaystyle G 的任何元素都能唯一地表成由 Sdisplaystyle S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st−1=su−1ut−1displaystyle st^-1=su^-1ut^-1 之類）；此時也稱 Gdisplaystyle G 為集合 Sdisplaystyle S 上的 自由群 ，其群結構決定於集合 Sdisplaystyle S ，記為 F(S)displaystyle F(S) ， Sdisplaystyle S 稱作一組 基底 。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。 一個相關但略有不同的概念是 自由阿貝爾群 （ 英语 ： free abelian group ） 。 目录 1 歷史 2 例子 3 建構方式 4 泛性質 5 性質與定理 6 自由阿貝爾群 7 塔斯基的問題 8 文獻 歷史 在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。 例子 2個圓環的集束 整數的加法群 (Z,+)displaystyle (mathbb Z ,+) 是自由群；事實上我們可取 S:=1displaystyle S:=1 。 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。 在代數拓撲學中， kdisplaystyle k 個圓環的集束（即： kdisplaystyle k 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 kdisplaystyle k 個生成元的自由群。 建構方式 今將構造集合 Sdisplaystyle S 上之自由群 F(S)displaystyle F(S) ，分解動作如下。 對任何 s∈Sdisplaystyle sin S ，引入符號 s−1display