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黎曼－斯蒂尔杰斯积分(英语：Riemann-Stieltjes integral)是一種積分，它是黎曼积分的一種推廣。

黎曼－斯蒂尔杰斯积分有數種定義方式，但不是每種定義方式都是彼此等價的。

定義

和黎曼積分一樣，黎曼－斯蒂尔杰斯积分的定義依賴對區間分割的定義。

区间的分割

一个闭区间[a,b]displaystyle [a,b]的一个分割P是指在此区间中取一个有限的点列a=x0<x1<x2<…<xn=bdisplaystyle a=x_0<x_1<x_2<ldots <x_n=b。每个闭区间[xi,xi+1]displaystyle [x_i,x_i+1]叫做一个子区间。定义λdisplaystyle lambda 为这些子区间长度的最大值：λ=max(xi+1−xi)displaystyle lambda =max(x_i+1-x_i)，其中0≤i≤n−1displaystyle 0leq ileq n-1。

再定义取样分割。一个闭区间[a,b]displaystyle [a,b]的一个取样分割是指在进行分割P=a=x0<x1<⋯<xn=bdisplaystyle P=a=x_0<x_1<cdots <x_n=b后，于每一个子区间中[xi,xi+1]displaystyle [x_i,x_i+1]取出一点 xi≤ti≤xi+1displaystyle x_ileq t_ileq x_i+1。λdisplaystyle lambda 的定义同上。

精细化分割：设x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n以及t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1构成了闭区间[a,b]displaystyle [a,b]的一个取样分割，y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m和s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1是另一个分割。如果对于任意0≤i≤ndisplaystyle 0leq ileq n，都存在r(i)displaystyle r(i)使得xi=yr(i)displaystyle x_i=y_r(i)，并存在r(i)≤j≤r(i+1)displaystyle r(i)leq jleq r(i+1)使得ti=sjdisplaystyle t_i=s_j，那么就把分割：y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m、s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1称作分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1的一个精细化分割。简单来说，就是说分割y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m、s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1是在分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1的基础上添加一些分点和标记。(即是說「設P=a=x0,x1,x2,…,xn−1,xn=bdisplaystyle P=a=x_0,x_1,x_2,ldots ,x_n-1,x_n=b是閉區間[a,b]displaystyle [a,b]的一個分割，若分割P′displaystyle P'是分割Pdisplaystyle P的一個精細化分割，則P⊆P′displaystyle Psubseteq P'，也就是說，分割Pdisplaystyle P是分割P′displaystyle P'的子集」)

于是我们可以在此区间的所有取样分割中定义一个偏序关系，称作“精细”。如果一个分割是另外一个分割的精细化分割，就说前者比后者更“精细”。

黎曼－斯蒂尔杰斯和

对一个在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]有定义的实值函数fdisplaystyle f，gdisplaystyle g关于取样分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n 、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1的黎曼－斯蒂尔杰斯和定义为以下和式：

S(P,f,g)=∑i=1nf(ti−1)(Δgi)displaystyle S(P,f,g)=sum _i=1^nf(t_i-1)(Delta g_i)

和式中的Δgidisplaystyle Delta g_i表示g(xi)−g(xi−1)displaystyle g(x_i)-g(x_i-1)，故∑i=1nΔgi=g(b)−g(a)displaystyle sum _i=1^nDelta g_i=g(b)-g(a)。

黎曼－斯蒂尔杰斯積分

當注意的是。這兩個定義在黎曼－斯蒂尔杰斯积分的情況下，並不完全等價，以第一種定義可推出其存在的積分，必能以第二種定義推出其存在，但以第二種定義方式可推出其存在的積分不一定能以第一種定義的方式來計算。

第一種定義

Adisplaystyle A是函数fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上對函數gdisplaystyle g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的ϵ>0displaystyle epsilon >0，都存在δ>0displaystyle delta >0，使得对于任意的取样分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1，只要它的子区间长度最大值λ≤δdisplaystyle lambda leq delta ，就有：

|S(P,f,g)−A|<ϵ.displaystyle left

第二種定義

Adisplaystyle A是函数fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上對函數gdisplaystyle g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分，当且仅当对于任意的ϵ>0displaystyle epsilon >0，都存在一个取样分割x0,…,xndisplaystyle x_0,ldots ,x_n、t0,…,tn−1displaystyle t_0,ldots ,t_n-1，使得对于任何比其“精细”的分割y0,…,ymdisplaystyle y_0,ldots ,y_m、s0,…,sm−1displaystyle s_0,ldots ,s_m-1，都有：

|S(P,f,g)−A|<ϵ.displaystyle left

若一個函數fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上對函數gdisplaystyle g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分存在，且值為Adisplaystyle A，則可寫作A=∫abf(x)dg(x).displaystyle A=int _a^bf(x)dg(x).

與黎曼積分間的關聯

若g(x) = x時，fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上對函數gdisplaystyle g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分∫abf(x)dg(x).displaystyle int _a^bf(x)dg(x).即為fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上的黎曼積分∫abf(x)dx.displaystyle int _a^bf(x)dx.，故從黎曼－斯蒂尔杰斯积分可引出黎曼積分。

若g(x)displaystyle g(x)可微且其對xdisplaystyle x微分後的函數g′(x)displaystyle g'(x)在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]連續，則fdisplaystyle f在闭区间[a,b]displaystyle [a,b]上對函數gdisplaystyle g的黎曼－斯蒂尔杰斯积分∫abf(x)dg(x).displaystyle int _a^bf(x)dg(x).與黎曼積分∫abf(x)g′(x)dx.displaystyle int _a^bf(x)g'(x)dx.相等

參考文獻

• Mathematical Analysis seond edition, Tom M. Apostol,Pearson Education Taiwan Ltd.

參見

• 黎曼积分


• 有界變差