哈尔测度
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数学分析中，哈尔测度（Haar measure）是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。
这个测度由匈牙利数学家 Alfréd Haar 于1933年发明[1] 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。
目录
1 预备知识
2 哈尔定理
3 右哈尔测度
4 哈尔积分(Haar integral)
5 参考文献
6 参看
预备知识
对于一个局域紧致豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为波莱尔代数（Borel algebra），波莱尔代数的元素即为波莱尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左变换和右变换：
- 左变换:
- gS=g.s:s∈Sdisplaystyle gS=g.s,:,sin S
- gS=g.s:s∈Sdisplaystyle gS=g.s,:,sin S
- 右变换:
- Sg=s.g:s∈Sdisplaystyle Sg=s.g,:,sin S
- Sg=s.g:s∈Sdisplaystyle Sg=s.g,:,sin S
左/右变换使波莱尔集映射为波莱尔集。
对于一个作用于G的波莱尔子集上的测量μ，如果对所有的波莱尔子集S和所有的g有
- μ(gS)=μ(S).displaystyle mu (gS)=mu (S).quad
则称这个测量μ是左变换不变的。相应可以定义右变换不变性。
哈尔定理
在差一个正因子常数的情形下，如果G的波莱尔子集上的一个唯一可加的非平凡测度μ满足如下性质：
- 对任意的g和波莱尔子集E，μ是左变换不变的:
- μ(gE)=μ(E)displaystyle mu (gE)=mu (E)
- μ(gE)=μ(E)displaystyle mu (gE)=mu (E)
- 对所有的紧致集K，μ是有限的:
- μ(K)<∞displaystyle mu (K)<infty
- μ(K)<∞displaystyle mu (K)<infty
- 在波莱尔集E上μ是外部正则(outer regular)[2]的:
- μ(E)=infμ(U):E⊆U,U open and Boreldisplaystyle mu (E)=infmu (U):Esubseteq U,Utext open and Borel
- μ(E)=infμ(U):E⊆U,U open and Boreldisplaystyle mu (E)=infmu (U):Esubseteq U,Utext open and Borel
- 在波莱尔开集E上μ是内部正则(inner regular)的:
- μ(E)=supμ(K):K⊆E,K compactdisplaystyle mu (E)=supmu (K):Ksubseteq E,Ktext compact
- μ(E)=supμ(K):K⊆E,K compactdisplaystyle mu (E)=supmu (K):Ksubseteq E,Ktext compact
那么这个G上的测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的，如果G是紧致的那么μ(G)是有限且正的，因此总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1，而G上唯一地指定一个左哈尔测度。
左哈尔测度对于所有的σ-有限波莱尔集都满足内部正则条件，但此条件对所有波莱尔集却不一定成立。
左哈尔测度的存在性和唯一性（相差一个因子的意义下）被André Weil[3]第一次完整的证明。Weil的证明采用了选择公理之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。[4]对于第二可数空间局域紧致群的不变测度也于1933年被Harr证明。[1]
右哈尔测度
同样可以证明存在一个唯一（相差一个正因子的意义下）的右变换不变的波莱尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限，但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。
对一个波莱尔群 S, 记其中每一个元素的逆的集合为S−1displaystyle S^-1
- μ−1(S)=μ(S−1)displaystyle mu _-1(S)=mu (S^-1)quad
那么这个μ−1displaystyle mu _-1
- μ−1(Sg)=μ((Sg)−1)=μ(g−1S−1)=μ(S−1)=μ−1(S).displaystyle mu _-1(Sg)=mu ((Sg)^-1)=mu (g^-1S^-1)=mu (S^-1)=mu _-1(S).quad
又因为右测度是唯一的，因此对于所有波莱尔集合S，μ-1和ν相差一个正因子k，满足：
- μ(S−1)=kν(S)displaystyle mu (S^-1)=knu (S),
哈尔积分(Haar integral)
由勒贝格积分理论，可以定义G上所有波莱尔测度方程f的积分。这个积分便是哈尔积分(Haar integral). 如果μ是一个左哈尔测度，那么对任意一个方程f，都有
- ∫Gf(sx) dμ(x)=∫Gf(x) dμ(x)displaystyle int _Gf(sx) dmu (x)=int _Gf(x) dmu (x)
参考文献
^ 1.01.1 Haar, A., Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen, Annals of Mathematics, 2, 1933, 34 (1): 147–169, JSTOR 1968346
^ “外部正则”与“内部正则”是参考日文维基上此条目后翻译出的
^ Weil, André, L'intégration dans les groupes topologiques et ses applications, Actualités Scientifiques et Industrielles 869, Paris: Hermann, 1940
^ Alfsen, E.M., A simplified constructive proof of existence and uniqueness of Haar measure, Math. Scand., 1963, 12: 106–116 [永久失效連結]
Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.
André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971
参看
- 哈尔
- 哈尔小波