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数学分析中，哈尔测度（Haar measure）是赋予局域紧致拓扑群一个“不变体积”并从而定义那些群上的函数的一个积分的一种方法。

这个测度由匈牙利数学家 Alfréd Haar 于1933年发明^[1] 。哈尔测度用于数学分析，数论，群论，表示论，估计理论和遍历理论的很多方面。

预备知识

对于一个局域紧致豪斯多夫拓扑群（G,・） ，其所有的紧子集生成的σ-代数被称为波莱尔代数（Borel algebra），波莱尔代数的元素即为波莱尔集。对于群G的元素g和子集S，可以定义S的左变换和右变换：

• 左变换:

gS=g.s:s∈Sdisplaystyle gS=g.s,:,sin S

• 右变换:

Sg=s.g:s∈Sdisplaystyle Sg=s.g,:,sin S

左/右变换使波莱尔集映射为波莱尔集。

对于一个作用于G的波莱尔子集上的测量μ，如果对所有的波莱尔子集S和所有的g有

μ(gS)=μ(S).displaystyle mu (gS)=mu (S).quad

则称这个测量μ是左变换不变的。相应可以定义右变换不变性。

哈尔定理

在差一个正因子常数的情形下，如果G的波莱尔子集上的一个唯一可加的非平凡测度μ满足如下性质：

• 对任意的g和波莱尔子集E，μ是左变换不变的:

μ(gE)=μ(E)displaystyle mu (gE)=mu (E)

• 对所有的紧致集K，μ是有限的:

μ(K)<∞displaystyle mu (K)<infty

• 在波莱尔集E上μ是外部正则(outer regular)^[2]的:

μ(E)=infμ(U):E⊆U,U open and Boreldisplaystyle mu (E)=infmu (U):Esubseteq U,Utext open and Borel

• 在波莱尔开集E上μ是内部正则(inner regular)的:

μ(E)=supμ(K):K⊆E,K compactdisplaystyle mu (E)=supmu (K):Ksubseteq E,Ktext compact

那么这个G上的测度μ便被称为左哈尔测度。 特别的，如果G是紧致的那么μ(G)是有限且正的，因此总可以通过设定一归一条件μ(G) = 1，而G上唯一地指定一个左哈尔测度。

左哈尔测度对于所有的σ-有限波莱尔集都满足内部正则条件，但此条件对所有波莱尔集却不一定成立。

左哈尔测度的存在性和唯一性（相差一个因子的意义下）被André Weil^[3]第一次完整的证明。Weil的证明采用了选择公理之后Henri Cartan在避免使用此公理的情况下同样完成了证明。1963年Alfsen对Cartan的论证给出了简化而全面的表述。^[4]对于第二可数空间局域紧致群的不变测度也于1933年被Harr证明。^[1]

右哈尔测度

同样可以证明存在一个唯一（相差一个正因子的意义下）的右变换不变的波莱尔测度ν满足上面的正则条件且在紧致集合上有限，但并不要求它与左变换不变的哈尔测度μ相同。仅对于幺模群(unimodular groups)左哈尔测度与右哈尔测度才相同。ν和μ之间也有些简单的关系。

对一个波莱尔群 S, 记其中每一个元素的逆的集合为S−1displaystyle S^-1，如果定义

μ−1(S)=μ(S−1)displaystyle mu _-1(S)=mu (S^-1)quad

那么这个μ−1displaystyle mu _-1便构成一个右哈尔测度。其右变换不变性表现如下：

μ−1(Sg)=μ((Sg)−1)=μ(g−1S−1)=μ(S−1)=μ−1(S).displaystyle mu _-1(Sg)=mu ((Sg)^-1)=mu (g^-1S^-1)=mu (S^-1)=mu _-1(S).quad

又因为右测度是唯一的，因此对于所有波莱尔集合S，μ_-1和ν相差一个正因子k，满足：

μ(S−1)=kν(S)displaystyle mu (S^-1)=knu (S),

哈尔积分(Haar integral)

由勒贝格积分理论，可以定义G上所有波莱尔测度方程f的积分。这个积分便是哈尔积分(Haar integral). 如果μ是一个左哈尔测度，那么对任意一个方程f，都有

∫Gf(sx) dμ(x)=∫Gf(x) dμ(x)displaystyle int _Gf(sx) dmu (x)=int _Gf(x) dmu (x)

参考文献

• 
  Paul Halmos, Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.


• 
  Lynn Loomis, An Introduction to Abstract Harmonic Analysis, D. van Nostrand and Co., 1953.


• 
  André Weil, Basic Number Theory, Academic Press, 1971

参看

• 哈尔


• 哈尔小波