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复平面上zdisplaystyle z和它的共轭复数z¯displaystyle overline z的表示。

在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算，因此一個複數

z=a+bi(a,b∈R)displaystyle z=a+biquad (a,bin mathbb R )

的複共軛是

z¯=a−bidisplaystyle overline z=a-bi

舉例明之：

3−2i¯=3+2idisplaystyle overline 3-2i=3+2i

7¯=7displaystyle overline 7=7

在複數的極坐標表法下，複共軛寫成

reiθ¯=re−iθdisplaystyle overline re^itheta =re^-itheta

這點可以透過歐拉公式驗證

將複數理解為複平面，則複共軛無非是對實軸的反射。複數zdisplaystyle z的複共軛有時也表為z∗displaystyle z^*。

性質

對於複數z,wdisplaystyle z,w：

z+w¯=z¯+w¯z−w¯=z¯−w¯zw¯=z¯w¯(zw)¯=z¯w¯(w≠0)z¯=z(z∈R)zn¯=z¯n(n∈Z)|z¯|=|z||z¯|2=zz¯(z¯)¯=zz−1=z¯|z|2(z≠0)displaystyle z

一般而言，如果複平面上的函數ϕdisplaystyle phi 能表為實係數冪級數，則有：

ϕ(z¯)=ϕ(z)¯displaystyle phi (overline z)=overline phi (z)

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分支）：

exp⁡(z¯)=exp⁡(z)¯log⁡(z¯)=log⁡(z)¯(z≠0)displaystyle beginarraylexp(overline z)=overline exp(z)\log(overline z)=overline log(z)&(zneq 0)endarray

其它觀點

複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記複共軛為τdisplaystyle tau ，則有Gal⁡(C/R)=1,τdisplaystyle operatorname Gal (mathbb C /mathbb R )=1,tau 。在代數數論中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為F∞displaystyle F_infty 。