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复平面上

z

和它的共轭复数

overline z

的表示。

在數學中，複數的共軛複數（常簡稱共軛）是對虛部變號的運算，因此一個複數

displaystyle z=a+biquad (a,bin mathbb R )

的複共軛是

displaystyle overline z=a-bi

舉例明之：

displaystyle overline 3-2i=3+2i

displaystyle overline 7=7

在複數的極坐標表法下，複共軛寫成

displaystyle overline re^itheta =re^-itheta

這點可以透過歐拉公式驗證

將複數理解為複平面，則複共軛無非是對實軸的反射。複數 $z$ 的複共軛有時也表為 $z^*$ 。

性質

對於複數 $displaystyle z,w$ ：

displaystyle z

一般而言，如果複平面上的函數 $phi$ 能表為實係數冪級數，則有：

displaystyle phi (overline z)=overline phi (z)

最直接的例子是多項式，由此可推得實係數多項式之複根必共軛。此外也可用於複指數函數與複對數函數（取定一分支）：

displaystyle beginarraylexp(overline z)=overline exp(z)\log(overline z)=overline log(z)&(zneq 0)endarray

複共軛是複平面上的自同構，但是並非全純函數。

記複共軛為 $tau$ ，則有 $displaystyle operatorname Gal (mathbb C /mathbb R )=1,tau$ 。在代數數論中，慣於將複共軛設想為「無窮素數」的弗羅貝尼烏斯映射，有時記為 $F_infty$ 。