Xrthnty

  本條目介紹的是數學上的欧拉角。關於航空航天，請見“欧拉角 (消歧義)”。

萊昂哈德·歐拉

萊昂哈德·歐拉用歐拉角來描述剛體在三維歐幾里得空間的取向。對於任何參考系，一個剛體的取向，是依照順序，從這參考系，做三個歐拉角的旋轉而設定的。所以，剛體的取向可以用三個基本旋轉矩陣來決定。換句話說，任何關於剛體旋轉的旋轉矩陣是由三個基本旋轉矩陣複合而成的。

靜態的定義

三個歐拉角： (α, β, γdisplaystyle alpha , beta , gamma )。藍色的軸是xyz-軸，紅色的軸是XYZ-坐標軸。綠色的線是交點線 (N)。

歐拉角動畫

對於在三維空間裏的一個參考系，任何坐標系的取向，都可以用三個歐拉角來表現。參考系又稱為實驗室參考系，是靜止不動的。而坐標系則固定於剛體，隨著剛體的旋轉而旋轉。

參閲右圖。設定xyz-軸為參考系的參考軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為交點線，用英文字母（N）代表。zxz順規的歐拉角可以靜態地這樣定義：

• 
  αdisplaystyle alpha 是x-軸與交點線的夾角，


• 
  βdisplaystyle beta 是z-軸與Z-軸的夾角，


• 
  γdisplaystyle gamma 是交點線與X-軸的夾角。

很可惜地，對於夾角的順序和標記，夾角的兩個軸的指定，並沒有任何常規。科學家對此從未達成共識。每當用到歐拉角時，我們必須明確的表示出夾角的順序，指定其參考軸。

實際上，有許多方法可以設定兩個坐標系的相對取向。歐拉角方法只是其中的一種。此外，不同的作者會用不同組合的歐拉角來描述，或用不同的名字表示同樣的歐拉角。因此，使用歐拉角前，必須先做好明確的定義。

角值範圍

• 
  αdisplaystyle alpha 、γdisplaystyle gamma 值分別從0至2πdisplaystyle 2pi 弧度。


• 
  βdisplaystyle beta 值從0至πdisplaystyle pi 弧度。

對應於每一個取向，設定的一組歐拉角都是獨特唯一的；除了某些例外：

• 兩組歐拉角的αdisplaystyle alpha ，一個是0，一個是2πdisplaystyle 2pi ，而βdisplaystyle beta 與γdisplaystyle gamma 分別相等，則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。

• 兩組歐拉角的γdisplaystyle gamma ，一個是0，一個是2πdisplaystyle 2pi ，而αdisplaystyle alpha 與βdisplaystyle beta 分別相等，則此兩組歐拉角都描述同樣的取向。

旋轉矩陣

前面提到，設定剛體取向的旋轉矩陣[R]displaystyle [mathbf R ]是由三個基本旋轉矩陣合成的：

[R]=[cos⁡γsin⁡γ0−sin⁡γcos⁡γ0001][1000cos⁡βsin⁡β0−sin⁡βcos⁡β][cos⁡αsin⁡α0−sin⁡αcos⁡α0001]displaystyle [mathbf R ]=beginbmatrixcos gamma &sin gamma &0\-sin gamma &cos gamma &0\0&0&1endbmatrixbeginbmatrix1&0&0\0&cos beta &sin beta \0&-sin beta &cos beta endbmatrixbeginbmatrixcos alpha &sin alpha &0\-sin alpha &cos alpha &0\0&0&1endbmatrixcos gamma & sin gamma & 0 \
-sin gamma & cos gamma & 0 \
0 & 0 & 1 endbmatrix beginbmatrix
1 & 0 & 0 \
0 & cos beta & sin beta \
0 & -sin beta & cos beta endbmatrix beginbmatrix
cos alpha & sin alpha & 0 \
-sin alpha & cos alpha & 0 \
0 & 0 & 1 endbmatrix"/>

从左到右依次代表繞著z軸的旋轉、繞著交點線的旋轉、繞著Z軸的旋轉。

經過一番運算,

[R]=[cos⁡αcos⁡γ−cos⁡βsin⁡αsin⁡γsin⁡αcos⁡γ+cos⁡βcos⁡αsin⁡γsin⁡βsin⁡γ−cos⁡αsin⁡γ−cos⁡βsin⁡αcos⁡γ−sin⁡αsin⁡γ+cos⁡βcos⁡αcos⁡γsin⁡βcos⁡γsin⁡βsin⁡α−sin⁡βcos⁡αcos⁡β]displaystyle [mathbf R ]=beginbmatrixcos alpha cos gamma -cos beta sin alpha sin gamma &sin alpha cos gamma +cos beta cos alpha sin gamma &sin beta sin gamma \-cos alpha sin gamma -cos beta sin alpha cos gamma &-sin alpha sin gamma +cos beta cos alpha cos gamma &sin beta cos gamma \sin beta sin alpha &-sin beta cos alpha &cos beta endbmatrixcosalphacosgamma-cosbetasinalphasingamma & sinalphacosgamma+cosbetacosalphasingamma & sinbetasingamma
\-cosalphasingamma-cosbetasinalphacosgamma & -sinalphasingamma+cosbetacosalphacosgamma & sinbetacosgamma
\ sinbetasinalpha & -sinbetacosalpha & cosbeta
endbmatrix"/>

[R]displaystyle [mathbf R ]的逆矩陣是：

[R]−1=[cos⁡αcos⁡γ−cos⁡βsin⁡αsin⁡γ−cos⁡αsin⁡γ−cos⁡βsin⁡αcos⁡γsin⁡βsin⁡αsin⁡αcos⁡γ+cos⁡βcos⁡αsin⁡γ−sin⁡αsin⁡γ+cos⁡βcos⁡αcos⁡γ−sin⁡βcos⁡αsin⁡βsin⁡γsin⁡βcos⁡γcos⁡β]displaystyle [mathbf R ]^-1=beginbmatrixcos alpha cos gamma -cos beta sin alpha sin gamma &-cos alpha sin gamma -cos beta sin alpha cos gamma &sin beta sin alpha \sin alpha cos gamma +cos beta cos alpha sin gamma &-sin alpha sin gamma +cos beta cos alpha cos gamma &-sin beta cos alpha \sin beta sin gamma &sin beta cos gamma &cos beta endbmatrixcosalphacosgamma-cosbetasinalphasingamma & -cosalphasingamma-cosbetasinalphacosgamma & sinbetasinalpha
\ sinalphacosgamma+cosbetacosalphasingamma & -sinalphasingamma+cosbetacosalphacosgamma & -sinbetacosalpha
\ sinbetasingamma & sinbetacosgamma & cosbeta
endbmatrix"/>

別種順序

在經典力學裏，時常用zxz順規來設定歐拉角；照著第二個轉動軸的軸名，簡稱為x順規。另外，還有別種歐拉角組。合法的歐拉角組中，唯一的限制是，任何兩個連續的旋轉，必須繞著不同的轉動軸旋轉。因此，一共有12種順規。例如，y順規，第二個轉動軸是y-軸，時常用在量子力學、核子物理學、粒子物理學。另外，還有一種順規，xyz順規，是用在航空航天工程學；參閱泰特-布萊恩角（英语：Tait-Bryan angles）。

動態的定義

我們也可以給予歐拉角兩種不同的動態定義。一種是繞著固定於剛體的坐標軸的三個旋轉的複合；另外一種是繞著實驗室參考軸的三個旋轉的複合。用動態的定義，我們能更了解，歐拉角在物理上的含義與應用。特別注意，以下的描述, XYZ坐標軸是旋轉的剛體坐標軸；而xyz坐標軸是靜止不動的實驗室參考軸。

• A)繞著XYZ坐標軸旋轉：最初，兩個坐標系統xyz與XYZ的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著Z-軸旋轉αdisplaystyle alpha ,角值。然後，繞著X-軸旋轉βdisplaystyle beta ,角值。最後，繞著Z-軸作角值γdisplaystyle gamma ,的旋轉。

• B)繞著xyz坐標軸旋轉：最初，兩個坐標系統xyz與XYZ的坐標軸都是重疊著的。開始先繞著z-軸旋轉γdisplaystyle gamma ,角值。然後，繞著x-軸旋轉βdisplaystyle beta ,角值。最後，繞著z-軸作角值αdisplaystyle alpha ,的旋轉。

參閱歐拉角圖，定義A與靜態定義的相等，這可以直接用幾何製圖方法來核對。

定義A與定義B的相等可以用旋轉矩陣來證明：

思考任何一點P1displaystyle P_1,，在xyz與XYZ坐標系統的坐標分別為r1displaystyle mathbf r _1,與R1displaystyle mathbf R _1,。定義角算符Z(α)displaystyle Z(alpha ),為繞著Z-軸旋轉αdisplaystyle alpha ,角值。那麼，定義A可以表述如下：

R1=Z(γ)∘X(β)∘Z(α)∘r1displaystyle mathbf R _1=Z(gamma )circ X(beta )circ Z(alpha )circ mathbf r _1,。

用旋轉矩陣表示,

Z(α)=[cos⁡αsin⁡α0−sin⁡αcos⁡α0001]displaystyle Z(alpha )=beginbmatrixcos alpha &sin alpha &0\-sin alpha &cos alpha &0\0&0&1endbmatrix,-sin alpha & cos alpha & 0 \0 & 0 & 1 endbmatrix,"/>，

X(β)=[1000cos⁡βsin⁡β0−sin⁡βcos⁡β]displaystyle X(beta )=beginbmatrix1&0&0\0&cos beta &sin beta \0&-sin beta &cos beta endbmatrix,0 & cos beta & sin beta \0 & -sin beta & cos beta endbmatrix ,"/>，

Z(γ)=[cos⁡γsin⁡γ0−sin⁡γcos⁡γ0001]displaystyle Z(gamma )=beginbmatrixcos gamma &sin gamma &0\-sin gamma &cos gamma &0\0&0&1endbmatrix,-sin gamma & cos gamma & 0 \0 & 0 & 1 endbmatrix,"/>。

思考任何一點P2displaystyle P_2,，在xyz與XYZ坐標系統的坐標分別為r2displaystyle mathbf r _2,與R2displaystyle mathbf R _2,。定義角算符z(α)displaystyle z(alpha ),為繞著z-軸旋轉αdisplaystyle alpha ,角值。則定義B可以表述如下：

r2=z(α)∘x(β)∘z(γ)∘R2displaystyle mathbf r _2=z(alpha )circ x(beta )circ z(gamma )circ mathbf R _2,。

用旋轉矩陣表示,

z(α)=[cos⁡α−sin⁡α0sin⁡αcos⁡α0001]displaystyle z(alpha )=beginbmatrixcos alpha &-sin alpha &0\sin alpha &cos alpha &0\0&0&1endbmatrix,sin alpha & cos alpha & 0 \0 & 0 & 1 endbmatrix,"/>，

x(β)=[1000cos⁡β−sin⁡β0sin⁡βcos⁡β]displaystyle x(beta )=beginbmatrix1&0&0\0&cos beta &-sin beta \0&sin beta &cos beta endbmatrix,0 & cos beta & -sin beta \0 & sin beta & cos beta endbmatrix ,"/>，

z(γ)=[cos⁡γ−sin⁡γ0sin⁡γcos⁡γ0001]displaystyle z(gamma )=beginbmatrixcos gamma &-sin gamma &0\sin gamma &cos gamma &0\0&0&1endbmatrix,sin gamma & cos gamma & 0 \0 & 0 & 1 endbmatrix,"/>。

假設，r1=r2displaystyle mathbf r _1=mathbf r _2, ．那麼，

r1=z(α)∘x(β)∘z(γ)∘R2displaystyle mathbf r _1=z(alpha )circ x(beta )circ z(gamma )circ mathbf R _2,。

乘以逆算符，

z−1(γ)∘x−1(β)∘z−1(α)∘r1=z−1(γ)∘x−1(β)∘z−1(α)∘z(α)∘x(β)∘z(γ)∘R2displaystyle z^-1(gamma )circ x^-1(beta )circ z^-1(alpha )circ mathbf r _1=z^-1(gamma )circ x^-1(beta )circ z^-1(alpha )circ z(alpha )circ x(beta )circ z(gamma )circ mathbf R _2,。

但是，從旋轉矩陣可以觀察出，

z−1(α)=Z(α)displaystyle z^-1(alpha )=Z(alpha ),，

x−1(β)=X(β)displaystyle x^-1(beta )=X(beta ),，

z−1(γ)=Z(γ)displaystyle z^-1(gamma )=Z(gamma ),。

所以，

Z(γ)∘X(β)∘Z(α)∘r1=R2displaystyle Z(gamma )circ X(beta )circ Z(alpha )circ mathbf r _1=mathbf R _2,，

R1=R2displaystyle mathbf R _1=mathbf R _2,。

定義A與定義B是相等的。

歐拉角性質

歐拉角在SO(3)上，形成了一個坐標卡 (chart)；SO(3)是在三維空間裏的旋轉的特殊正交群。這坐標卡是平滑的，除了一個極坐標式的奇點在β=0displaystyle beta =0　。

類似的三個角的分解也可以應用到SU(2)；複數二維空間裏旋轉的特殊酉群；這裏，βdisplaystyle beta 值在 0 與2πdisplaystyle 2pi 之間。這些角也稱為歐拉角。

應用

歐拉角廣泛地被應用於經典力學中的剛體研究，與量子力學中的角動量研究。

在剛體的問題上, xyz坐標系是全域坐標系，XYZ坐標系是局域坐標系。全域坐標系是不動的；而局域坐標系牢嵌於剛體內。關於動能的演算，通常用局域坐標系比較簡易；因為，慣性張量不隨時間而改變。如果將慣性張量（有九個分量，其中六個是獨立的）對角線化，那麼，會得到一組主軸，以及一個轉動慣量（只有三個分量）。

在量子力學裏，詳盡的描述SO(3)的形式，對於精準的演算，是非常重要的，並且幾乎所有研究都採用歐拉角為工具。在早期的量子力學研究，對於抽象群理論方法(稱為Gruppenpest)，物理學家與化學家仍舊持有極尖銳的反對態度的時候；對歐拉角的信賴，在基本理論研究來說，是必要的。

歐拉角的哈爾測度有一個簡單的形式sin⁡β dαdβdγdisplaystyle sin beta dalpha dbeta dgamma 通常在前面添上歸一化因子1/8π2displaystyle 1/8pi ^2。例如，我們要生成均勻隨機取向，使αdisplaystyle alpha 、γdisplaystyle gamma 從0displaystyle 0至2πdisplaystyle 2pi 分別均勻的選隨機值；使β=arccos⁡(z)displaystyle beta =arccos(z)，zdisplaystyle z從−1displaystyle -1至1displaystyle 1均勻的選隨機值。

單位四元數，又稱歐拉參數，提供另外一種方法來表述三維旋轉。這與特殊酉群的描述是等價的。四元數方法用在大多數的演算會比較快捷，概念上比較容易理解，並能避免一些技術上的問題，如萬向鎖現象。因為這些原因，許多高速度三維圖形程式製作都使用四元數。

參閱

• 歐拉運動定律


• 歐拉旋轉定理


• 旋轉矩陣


• 四元數


• 軸角


• 球坐標系

參考文獻

• L. C. Biedenharn, J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1981.


• Herbert Goldstein, Classical Mechanics, Addison-Wesley, Reading, MA, 1980.


• Andrew Gray, A Treatise on Gyrostatics and Rotational Motion, MacMillan, London, 1918.


• M. E. Rose, Elementary Theory of Angular Momentum, John Wiley, New York, NY, 1957.


• 
  Symon, Keith. Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA. 1971. ISBN 978-0-201-07392-8. 
  


• 
  Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Mechanics. Butterworth-Heinemann. 1997. ISBN 0-750-62896-0.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
  

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：欧拉角

• MathWorld關於各種歐拉角常規的詳細討論