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  提示：本条目的主题不是狄拉克δ函数，也不是克罗内克符号。

在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ）δijdisplaystyle delta _ij,! 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

δij={1(i=j)0(i≠j){displaystyle delta _ij=leftbeginmatrix1&(i=j)\0&(ineq j)endmatrixright.,! 。

克罗内克函数的值一般简写为 δijdisplaystyle delta _ij,! 。

克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

其它记法

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

δij=[i=j]displaystyle delta _ij=[i=j],! 。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 δidisplaystyle delta _i,! ：

δi={1,if i=00,if i≠0{displaystyle delta _i=leftbeginmatrix1,&mboxif i=0\0,&mboxif ineq 0endmatrixright.,! 。

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 δjidisplaystyle delta _j^i,! 。

数字信号处理

冲激函数

类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 Zdisplaystyle mathbb Z ,! (整数)的函数：

δ[n]={1,n=00,n≠0displaystyle delta [n]=begincases1,&n=0\0,&nneq 0endcases,! 。

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

性质

克罗内克函数有筛选性：对任意 j∈Zdisplaystyle jin mathbb Z ,! ：

∑i=−∞∞δijai=ajdisplaystyle sum _i=-infty ^infty delta _ija_i=a_j,! 。

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：

∫−∞∞δ(x−y)f(x)dx=f(y)displaystyle int _-infty ^infty delta (x-y)f(x)dx=f(y),! 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 δ(t)displaystyle delta (t),,! 为连续的情况（狄拉克函数） ，而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在 离散的情况下（克罗内克函数）。

线性代数中的应用

在线性代数中，单位矩阵可以写作 (δij)i,j=1ndisplaystyle (delta _ij)_i,j=1^n,! 。

在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 δjidisplaystyle delta _j^i,! 。

这个(1,1)向量表示:

• 作为线性映射的单位矩阵。


• 
  迹数。


• 
  内积 V∗⊗V→Kdisplaystyle V^*otimes Vto K,! 。


• 映射 K→V∗⊗Vdisplaystyle Kto V^*otimes V,! ，将数量乘积表示为外积的形式。

廣義克羅內克函數

定義廣義克羅內克函數為 n×ndisplaystyle ntimes n,! 矩陣的行列式，以方程式表達為^[1]

δi1i2…inj1j2…jn=[δi1j1δi2j1⋯δinj1δi1j2δi2j2⋯δinj2⋮⋱⋮δi1jnδi2jn⋯δinjn]displaystyle delta _i_1i_2dots i_n^j_1j_2dots j_n=beginbmatrixdelta _i_1^j_1delta _i_2^j_1&cdots &delta _i_n^j_1\delta _i_1^j_2delta _i_2^j_2&cdots &delta _i_n^j_2\vdots &ddots &vdots \delta _i_1^j_ndelta _i_2^j_n&cdots &delta _i_n^j_n\endbmatrix,! ；

其中，δjidisplaystyle delta _j^i,! 是個張量函數，定義為 δji =def δijdisplaystyle delta _j^i stackrel def= delta _ij,! 。

以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

• 
  δimnijk=δmnjk=δmjδnk−δnjδmkdisplaystyle delta _imn^ijk=delta _mn^jk=delta _m^jdelta _n^k-delta _n^jdelta _m^k,! 。


• 
  δijmijk=2δmkdisplaystyle delta _ijm^ijk=2delta _m^k,! 。


• 
  δijkijk=6displaystyle delta _ijk^ijk=6,! 。


• 
  δlmnijk=ϵijkϵlmndisplaystyle delta _lmn^ijk=epsilon ^ijkepsilon _lmn,! ；

其中，ϵijkdisplaystyle epsilon ^ijk,! 和 ϵlmndisplaystyle epsilon _lmn,! 是列維-奇維塔符號。

• 
  δi1i2…inj1j2…jn=ϵj1j2…jnϵi1i2…indisplaystyle delta _i_1i_2dots i_n^j_1j_2dots j_n=epsilon ^j_1j_2dots j_nepsilon _i_1i_2dots i_n,! 。


• 
  δi1i2…in12…n=ϵi1i2…indisplaystyle delta _i_1i_2dots i_n^12dots n=epsilon _i_1i_2dots i_n,! 。


• 
  δi1i2…inj1j2…jnTj1j2…jn=n! Ti1i2…indisplaystyle delta _i_1i_2dots i_n^j_1j_2dots j_nT_j_1j_2dots j_n=n! T_i_1i_2dots i_n,! ；

其中，Tj1j2…jndisplaystyle T_j_1j_2dots j_n,! 是 ndisplaystyle n,! 階張量。

积分表示

对任意的整数 ndisplaystyle n,! ，运用标准的留数计算，可以将克罗内克函数表示成积分的形式：

δx,n=12πi∮⁡zx−n−1dzdisplaystyle delta _x,n=frac 12pi ioint z^x-n-1dz,! ；

其中积分的路径是围绕零点逆时针进行。

这个表示方式与下面的另一形式等价：

δx,n=12π∫02πei(x−n)φdφdisplaystyle delta _x,n=frac 12pi int _0^2pi e^i(x-n)varphi dvarphi ,! 。

参见

• 列維-奇維塔符號


• 狄拉克测度（英语：Dirac measure）


• 同或门

參考文獻

1. 
   ^ Heinbockel, J. H., Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics, Victoria, B.C. Canada: Trafford Publishing: pp. 14, 31, 2001, ISBN 1-55369-133-4  引文格式1维护：冗余文本 (link)