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在群論中，群表示論（group representation theory）是一个非常重要的理論。它包含了（局部）緊緻群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支，近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。

基本定義

表示理論早期是藉矩陣的語言描述的，具體定義如下：

• 如果任何非零方陣的集合的乘法關係和给定群的乘法關係相同，则這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。


• 如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。


• 如果任何維數大於一的表示的所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換为相同的塊對角矩陣結構，則稱此表示为可約表示，反之稱为不可約表示。

形式地說，一個群Gdisplaystyle G的表示乃一同態 ρ:G→GL(V)displaystyle rho :Grightarrow mathrm GL (V)，其中Vdisplaystyle V為給定的有限維向量空間，係數佈於一個域Fdisplaystyle F，通常取F=Cdisplaystyle F=mathbb C ，但在一般域（如局部域或有限域）上的表示也有重要應用。GL(V)displaystyle mathrm GL (V)表從Vdisplaystyle V上的自同構，或對一給定的基底來說，是n=dim⁡Vdisplaystyle n=dim V階可逆方陣的集合。若Ker(ρ)displaystyle mathrm Ker (rho )是平凡的，則稱此表現是忠實的。

若所考慮的群Gdisplaystyle G帶有額外的結構（如拓撲群、李群或群概形），我們通常要求ρdisplaystyle rho 滿足相應的條件（如連續性、可微性或者要求它是概形間的態射）；在有限群及緊緻群以外的情況，通常也須考慮無窮維表示。

一個群Gdisplaystyle G的所有有限維表示構成一個張量範疇，記為RepGdisplaystyle mathrm Rep _G；其態射定義如下：

HomG((ρ,V),(σ,W)):=f∈HomF(V,W):f(ρ(g)v)=σ(g)f(v)displaystyle mathrm Hom _G((rho ,V),(sigma ,W)):=fin mathrm Hom _F(V,W):f(rho (g)v)=sigma (g)f(v)

它等價於有限維F[G]displaystyle F[G]-模所構成的範疇。不難驗證表示間的同構確由矩陣的相似變換給出。一個表示被稱作不可約的，若且唯若它沒有在Gdisplaystyle G的作用下不變的非平凡子空間。若一個表示能表成不可約表示的直和，則稱之為完全可約的。若取F=Cdisplaystyle F=mathbb C ，則緊緻群的表示均為完全可約的，對於一般的李群及群概形則複雜得多，完全可約與否通常與半單性有關。

特徵標

給定Gdisplaystyle G的一個表示，可以得到一個特徵標χ:G→Fdisplaystyle chi :Grightarrow F，它是個類函數。特徵標理論在有限群分類中佔關鍵地位；在緊緻群上，特徵標滿足舒爾正交關係，又根據彼得-外爾定理，不可約表現的特徵標相對於 L∞displaystyle L^infty 範數在類函數中稠密。請參見特徵標理論。

誘導與限制

設Hdisplaystyle H為Gdisplaystyle G之子群，(G:H)<∞displaystyle (G:H)<infty 。以下將定義兩個函子ResHG:RepG→RepHdisplaystyle mathrm Res _H^G:mathrm Rep _Grightarrow mathrm Rep _H（限制）與IndHG:RepH→RepGdisplaystyle mathrm Ind _H^G:mathrm Rep _Hrightarrow mathrm Rep _G（誘導）。

• 若ρ:G→GL(V)displaystyle rho :Grightarrow mathrm GL (V)為G的表示，則ρ限制於H給出H的表示，記為ResHG(V)displaystyle mathrm Res _H^G(V)。


• 若ρ:H→GL(V)displaystyle rho :Hrightarrow mathrm GL (V)為H的表示，我們定義VG:=f:G→V:∀h∈Hf(hg)=ρ(h)f(g)displaystyle V^G:=f:Grightarrow V:forall hin H;f(hg)=rho (h)f(g)。Gdisplaystyle G以右乘法作用在VGdisplaystyle V^G上。VGdisplaystyle V^G仍是有限維，記此表示為IndHG(V)displaystyle mathrm Ind _H^G(V)。

誘導表示亦可用矩陣直接計算，或定義為某個主齊性空間的截面；後者可推廣至李群與群概形的表示，此時誘導表示的性狀與G/Hdisplaystyle G/H的幾何構造密切相關。

弗羅貝尼烏斯互反定理言明：若V,Wdisplaystyle V,W分別為G,Hdisplaystyle G,H的表示，則有自然的同構HomH(W,ResHG(V))=HomG(IndHG(W),V)displaystyle mathrm Hom _H(W,mathrm Res _H^G(V))=mathrm Hom _G(mathrm Ind _H^G(W),V)。換言之：(IndHG,ResHG)displaystyle (mathrm Ind _H^G,mathrm Res _H^G)為一對伴隨函子。

若以特徵標表之，上述同構化為一個較弱但較具體的等式：(χIndHG(W),χV)=(χW,χResHG(V))displaystyle (chi _mathrm Ind _H^G(W),chi _V)=(chi _W,chi _mathrm Res _H^G(V))。

例子

• 任意一個群Gdisplaystyle G都自然地作用在其群代數C[G]displaystyle mathbb C [G]上，稱為正則表現。


• 對稱群Sndisplaystyle S_n以σ⋅ei=eσ(i)displaystyle sigma cdot e_i=e_sigma (i)作用在Cndisplaystyle mathbb C ^n上。


• 
  SOn(R)displaystyle mathrm SO _n(mathbb R )以g⋅f(x)=f(g(x))displaystyle gcdot f(x)=f(g(x))作用於m次調和多項式上。

與物理學的關係

迄今已知的物理定律通常在某個李群的作用下保持不變，如空間的旋轉群SO(3)displaystyle mathrm SO (3)或其覆蓋Spin(3)displaystyle mathrm Spin (3)，其不可約表示關係到角動量的量子化。進一步的例子是：任何與狹義相對論相容的量子力學系統都帶有G:=AHdisplaystyle G:=AH（半直積）的酉表示，其中Adisplaystyle A是時空的平移而Hdisplaystyle H是 勞侖茲變換群，藉著研究Gdisplaystyle G的不可約酉表示，可分類粒子的質量和自旋。

參見

• 舒尔正交关系


• 特徵標理論

文獻

• J.L. Alperin, Rowen B. Bell, Groups and Representations (1995), Graduate Texts in Mathematics 162 ,Springer. ISBN 0387945261
  


• J.C. Jantzen, Representations of Algebraic Groups (2003), American Mathematical Society. ISBN 0821835270
  


• V.S. Varadarajan, An Introduction to Harmonic Analysis on Semisimple Groups (1989), Cambridge University Press. ISBN 0-521-34156-6