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差分，又名差分函數或差分運算，是数学中的一个概念。它将原函数 $f(x)$ 映射到 $f(x+a)-f(x+b)$ 。差分運算，相應於微分運算，是微积分中重要的一个概念。

定义

差分分为前向差分和逆向差分。

前向差分

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数 $f(x)$ ，如果在等距节点：

x_k=x_0+kh,(k=0,1,...,n)

Delta f(x_k)=f(x_k+1)-f(x_k)

则称 $Delta f(x)$ ，函数在每个小区间上的增量 $y_k+1-y_k$ 为 $f(x)$ 一阶差分。^[1]

在微积分学中的有限差分（finite differences），前向差分通常是微分在离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当 $f(x)$ 是多项式时，前向差分为Delta算子（称 $Delta$ 为差分算子^[2]），一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分

对于函数 $f(x_k)$ ，如果：

nabla f(x_k)=f(x_k)-f(x_k-1).,

则称 $nabla f(x_k)$ 为 $f(x)$ 的一阶逆向差分。

差分的阶

一阶差分的差分为二阶差分，二阶差分的差分为三阶差分，其余类推。记：

$Delta ^n[f](x)$ 为 $f(x)$ 的 $n$ 阶差分。

如果

$Delta ^n[f](x)$	$=Delta Delta ^n-1[f](x)$
	$=Delta ^n-1[f](x+1)-Delta ^n-1[f](x)$

根据数学归纳法，有

Delta ^n[f](x)=sum _i=0^nn choose i(-1)^n-if(x+i)

其中， $n choose i$ 为二项式系数。

特别的，有

Delta ^2[f](x)=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)

前向差分有时候也称作数列的二项式变换

差分的性质

对比解析函数中的微分的属性，差分的性质有：

如果C为常数，则有

Delta C=0

线性：如果 $a$ 和 $b$ 为常数，则有

Delta (af+bg)=aDelta f+bDelta g

乘法定则：

Delta (fg)=fDelta g+gDelta f+Delta fDelta g

nabla (fg)=fnabla g+gnabla f-nabla fnabla g

除法定则：

nabla left(frac fgright)=frac 1gdet beginbmatrixnabla f&nabla g\f&gendbmatrixdet beginbmatrixg&nabla g\1&1endbmatrix^-1

Delta left(dfrac fgright)=dfrac 1gdet beginbmatrixDelta f&Delta g\f&gendbmatrixdet beginbmatrixg&Delta g\-1&1endbmatrix^-1

或

nabla left(frac fgright)=frac gnabla f-fnabla ggcdot (g-nabla g)

Delta left(frac fgright)=frac gDelta f-fDelta ggcdot (g+Delta g)

级数：

sum _n=a^bDelta f(n)=f(b+1)-f(a)

sum _n=a^bnabla f(n)=f(b)-f(a-1)

牛頓級數

《自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N，對應著6個值A,B,C,D,E,F，生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值，計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五^[3]，此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況

當x值間隔為單位步長1時，有：

beginalignedf(x)&=f(a)+frac x-a1left[Delta ^1[f](a)+frac x-a-12left(Delta ^2[f](a)+cdots right)right]\&=f(a)+sum _k=1^nDelta ^k[f](a)prod _i=1^kfrac [(x-a)-i+1]i\&=sum _k=0^nx-a choose k~Delta ^k[f](a)\endaligned

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

x choose k=frac (x)_kk!quad quad (x)_k=x(x-1)(x-2)cdots (x-k+1)

是二項式係數，其中的(x)_k是“下降階乘冪”，空乘積(x)₀被定義為1。這裡的Δ^k[f](x)是“前向差分”的特定情況，即間距h=1。

實例

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的，舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項，可以找到一個多項式重新生成這些值，首先計算一個差分表，接著將對應於x₀（標示了下劃線）的這些差分代換入公式，

beginmatrixbeginarraychline x&Delta ^0&Delta ^1&Delta ^2&Delta ^3\hline 1&underline 1&&&\&&underline 3&&\2&4&&underline 2&\&&5&&underline 0\3&9&&2&\&&7&&\4&16&&&\hline endarray&quad beginalignedf(x)&=Delta ^0+Delta ^1dfrac (x-x_0)1!+Delta ^2dfrac (x-x_0)(x-x_0-1)2!quad (x_0=1)\&=1+3cdot dfrac x-11+2cdot dfrac (x-1)(x-2)2\&=1+3(x-1)+(x-1)(x-2)\&=x^2endalignedendmatrix

一般情況

對於x值間隔為非一致步長的情況，牛頓計算均差，在間隔一致但非單位量時，即上述前向差分的一般情況，插值公式為：

beginalignedf(x)&=f(a)+frac x-ahleft[Delta _h^1[f](a)+frac x-a-h2hleft(Delta _h^2[f](a)+cdots right)right]\&=f(a)+sum _k=1^nfrac Delta _h^k[f](a)k!h^kprod _i=0^k-1[(x-a)-ih]\&=f(a)+sum _k=1^nfrac Delta _h^k[f](a)k!prod _i=0^k-1left(frac x-ah-iright).endaligned

在最終公式中h^k被消去掉了，對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参考

^ 科学出版社《数值分析及科学计算》薛毅（编）第六章第2节 Newton插值. P204.

^ 科学出版社《数值分析及科学计算》薛毅（编）第六章第2节 Newton插值. P205.

^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见

递归

遞迴關係式

拉格朗日多项式

吉尔布雷斯猜想

牛顿多项式

牛顿级数表

泰勒级数

时标微积分

分部求和法

参考文献

Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert, Mellin transforms and asymptotics: Finite differences and Rice's integrals, Theoretical Computer Science, 1995, 144 (1–2): 101–124, doi:10.1016/0304-3975(94)00281-M ^{[永久失效連結]}.

[1] 科学出版社《数值分析及科学计算》薛毅（编）第六章第2节 Newton插值. P204.

[2] 科学出版社《数值分析及科学计算》薛毅（编）第六章第2节 Newton插值. P205.

[3] Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

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