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  本文介紹的是氫原子的物理性質。關於氫元素的化學性質，請見「氫」。

氫-1
全表
總體特性
名稱， 符號	氕[1], 1H
中子	0
質子	1
核素資料
豐度	99.985%
半衰期	穩定
同位素質量	1.007825 amu
自旋	½+
盈餘能	7288.969 ± 0.001 keV
結合能	0.000 ± 0.0000 keV

氫原子是氫元素的原子。電中性的原子含有一個正價的質子與一個負價的電子，被庫侖定律束縛於原子核內。在大自然中，氫原子是豐度最高的同位素，稱為氫，氫-1 ，或氕^[1]。氫原子不含任何中子，別的氫同位素含有一個或多個中子。這條目主要描述氫-1 。

氫原子擁有一個質子和一個電子，是一個的簡單的二體系統。系統內的作用力只跟二體之間的距離有關，是反平方連心力，不需要將這反平方連心力二體系統再加理想化，簡單化。描述這系統的（非相對論性的）薛丁格方程式有解析解，也就是說，解答能以有限數量的常見函數來表達。滿足這薛丁格方程式的波函數可以完全地描述電子的量子行為。因此可以這樣說，在量子力學裏，沒有比氫原子問題更簡單，更實用，而又有解析解的問題了。所推演出來的基本物理理論，又可以用簡單的實驗來核對。所以，氫原子問題是個很重要的問題。

另外，理論上薛丁格方程式也可用於求解更複雜的原子與分子。但在大多數的案例中，皆無法獲得解析解，而必須藉用電腦(計算機)來進行計算與模擬，或者做一些簡化的假設，方能求得問題的解析解。

歷史

大多数氢原子的结构。

氫原子的半徑大約為波耳半徑。

1913 年，尼爾斯·玻耳在做了一些簡化的假設後，計算出氫原子的光譜頻率。這些假想，波耳模型的基石，並不是完全的正確，但是可以得到正確的能量答案。

1925/26 年，埃爾文·薛丁格應用他發明的薛丁格方程式，以嚴謹的量子力學分析，清楚地解釋了波耳答案正確的原因。氫原子的薛丁格方程式的解答是一個解析解，也可以計算氫原子的能級與光譜譜線的頻率。薛丁格方程式的解答比波耳模型更為精確，能夠得到許多電子量子態的波函數（軌域），也能夠解釋化學鍵的各向異性。

薛丁格方程式解答

氫原子問題的薛丁格方程式為^[2]:131-145

−ℏ22μ∇2ψ+V(r)ψ=Eψdisplaystyle -frac hbar ^22mu nabla ^2psi +V(r)psi =Epsi ；

其中，ℏdisplaystyle hbar 是約化普朗克常數，μdisplaystyle mu 是電子與原子核的約化質量，ψdisplaystyle psi 是量子態的波函數，Edisplaystyle E 是能量，V(r)displaystyle V(r) 是庫侖位勢：

V(r)=−e24πϵ0rdisplaystyle V(r)=-frac e^24pi epsilon _0r ；

其中，ϵ0displaystyle epsilon _0 是真空電容率，edisplaystyle e 是單位電荷量，rdisplaystyle r 是電子離原子核的距離。

採用球坐標 (r, θ, ϕ)displaystyle (r, theta , phi )，將拉普拉斯算子展開：

−ℏ22μr2∂∂r(r2∂∂r)+1sin2⁡θ[sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+∂2∂ϕ2]ψ−e24πϵ0rψ=Eψdisplaystyle -frac hbar ^22mu r^2leftfrac partial partial rleft(r^2frac partial partial rright)+frac 1sin ^2theta left[sin theta frac partial partial theta left(sin theta frac partial partial theta right)+frac partial ^2partial phi ^2right]rightpsi -frac e^24pi epsilon _0rpsi =Epsi 。

猜想這薛丁格方程式的波函數解 ψ(r, θ, ϕ)displaystyle psi (r, theta , phi ) 是徑向函數 Rnl(r)displaystyle R_nl(r) 與球諧函數 Ylm(θ, ϕ)displaystyle Y_lm(theta , phi ) 的乘積：

ψ(r, θ, ϕ)=Rnl(r)Ylm(θ, ϕ)displaystyle psi (r, theta , phi )=R_nl(r)Y_lm(theta , phi ) 。

角部分解答

參數為天頂角和方位角的球諧函數，滿足角部分方程式^[2]:160-170

−1sin2⁡θ[sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+∂2∂ϕ2]Ylm(θ,ϕ)=l(l+1)Ylm(θ,ϕ)displaystyle -frac 1sin ^2theta left[sin theta frac partial partial theta Big (sin theta frac partial partial theta Big )+frac partial ^2partial phi ^2right]Y_lm(theta ,phi )=l(l+1)Y_lm(theta ,phi ) ；

其中，非負整數 ldisplaystyle l 是軌角動量的角量子數。磁量子數 mdisplaystyle m （滿足 −l≤m≤ldisplaystyle -lleq mleq l ）是軌角動量對於 z-軸的（量子化的）投影。不同的 ldisplaystyle l 與 mdisplaystyle m 給予不同的軌角動量函數解答 Ylmdisplaystyle Y_lm :

Ylm(θ, ϕ)=(i)m+|m|(2l+1)4π(l−|m|)!(l+|m|)!Plm(cos⁡θ)eimϕdisplaystyle Y_lm(theta , phi )=(i)^m+sqrt (2l+1) over 4pi )!,P_lm(cos theta ),e^imphi ；

其中，idisplaystyle i 是虛數單位，Plm(cos⁡θ)displaystyle P_lm(cos theta ) 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為

Plm(x)=(1−x2)|m|/2 d|m|dx|m|Pl(x)displaystyle P_lm(x)=(1-x^2)^ frac d^mdx^mP_l(x), ；

而 Pl(x)displaystyle P_l(x) 是 ldisplaystyle l 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：

Pl(x)=12ll!dldxl(x2−1)ldisplaystyle P_l(x)=1 over 2^ll!d^l over dx^l(x^2-1)^l 。

徑向部分解答

徑向函數滿足一個一維薛丁格方程式：^[2]:145-157

[−ℏ22μr2ddr(r2ddr)+ℏ2l(l+1)2μr2−e24πϵ0r]Rnl(r)=ERnl(r)displaystyle left[-hbar ^2 over 2mu r^2d over drleft(r^2d over drright)+hbar ^2l(l+1) over 2mu r^2-frac e^24pi epsilon _0rright]R_nl(r)=ER_nl(r) 。

方程式左邊的第二項可以視為離心力位勢，其效應是將徑向距離拉遠一點。

除了量子數 ℓdisplaystyle ell 與 mdisplaystyle m 以外，還有一個主量子數 ndisplaystyle n 。為了滿足 Rnl(r)displaystyle R_nl(r) 的邊界條件，ndisplaystyle n 必須是正值整數，能量也離散為能級 En=−(μe432π2ϵ02ℏ2)1n2=−13.6n2 [eV]displaystyle E_n=-left(frac mu e^432pi ^2epsilon _0^2hbar ^2right)frac 1n^2=frac -13.6n^2 [eV] 。隨著量子數的不同，函數 Rnl(r)displaystyle R_nl(r) 與 Ylmdisplaystyle Y_lm 都會有對應的改變。按照慣例，規定用波函數的下標符號來表示這些量子數。這樣，徑向函數可以表達為

Rnl(r)=(2naμ)3(n−l−1)!2n(n+l)!e−r/naμ(2rnaμ)lLn−l−12l+1(2rnaμ)displaystyle R_nl(r)=sqrt left(frac 2na_mu right)^3frac (n-l-1)!2n(n+l)!e^-r/na_mu left(frac 2rna_mu right)^lL_n-l-1^2l+1(tfrac 2rna_mu ) ；

其中，aμ=4πε0ℏ2μe2displaystyle a_mu =4pi varepsilon _0hbar ^2 over mu e^2 。 aμdisplaystyle a_mu 近似於波耳半徑 a0displaystyle a_0 。假若，原子核的質量是無限大的，則 aμ=a0displaystyle a_mu =a_0 ，並且，約化質量等於電子的質量，μ=medisplaystyle mu =m_e 。 Ln−l−12l+1displaystyle L_n-l-1^2l+1 是广义拉盖尔多项式，其定義式可在條目拉盖尔多项式裡找到。

广义拉盖尔多项式Ln−l−12l+1(x)displaystyle L_n-l-1^2l+1(x)另外還有一種在量子力學裡常用的定義式（兩種定義式不同）：^[2]:152

Lij(x)=(−1)j djdxjLi+j(x)displaystyle L_i^j(x)=(-1)^j frac d^jdx^jL_i+j(x) ；

其中，Li+j(x)displaystyle L_i+j(x) 是拉盖尔多项式，可用羅德里格公式表示為

Li(x)=exi! didxi(xie−x)displaystyle L_i(x)=frac e^xi! frac d^idx^i(x^ie^-x) 。

為了要結束广义拉盖尔多项式的遞迴關係，必須要求量子數 l<ndisplaystyle l<n 。

按照這種定義式，徑向函數表達為

Rnl(r)=(2naμ)3(n−l−1)!2n[(n+l)!]3e−r/naμ(2rnaμ)lLn−l−12l+1(2rnaμ)displaystyle R_nl(r)=sqrt left(frac 2na_mu right)^3frac (n-l-1)!2n[(n+l)!]^3e^-r/na_mu left(frac 2rna_mu right)^lL_n-l-1^2l+1(tfrac 2rna_mu ) 。

知道徑向函數 Rnl(r)displaystyle R_nl(r) 與球諧函數 Ylmdisplaystyle Y_lm 的形式，可以寫出整個量子態的波函數，也就是薛丁格方程式的整個解答：

ψnlm=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ)displaystyle psi _nlm=R_nl(r),Y_lm(theta ,phi ) 。

量子數

量子數 ndisplaystyle n 、ldisplaystyle l 、mdisplaystyle m ，都是整數，容許下述值：^[2]:165-166

n=1, 2, 3, 4, …displaystyle n=1, 2, 3, 4, dots ，

l=0, 1, 2, …, n−1displaystyle l=0, 1, 2, dots , n-1 ，

m=−l, −l+1, …, 0, …, l−1, ldisplaystyle m=-l, -l+1, ldots , 0, ldots , l-1, l 。

角動量

每一個原子軌域都有特定的角動量向量 Ldisplaystyle mathbf L 。它對應的算符是一個向量算符 L^displaystyle hat mathbf L 。角動量算符的平方 L^2≡L^x2+L^y2+L^z2displaystyle hat L^2equiv hat L_x^2+hat L_y^2+hat L_z^2 的本徵值是^[2]:160-164

L^2Ylm=ℏ2l(l+1)Ylmdisplaystyle hat L^2Y_lm=hbar ^2l(l+1)Y_lm 。

角動量向量對於任意方向的投影是量子化的。設定此任意方向為 z-軸的方向，則量子化公式為

L^zYlm=ℏmYlmdisplaystyle hat L_zY_lm=hbar mY_lm 。

因為 [L^2, L^z]=0displaystyle [hat L^2, hat L_z]=0 ，L^2displaystyle hat L^2 與 L^zdisplaystyle hat L_z 是對易的，L2displaystyle L^2 與 Lzdisplaystyle L_z 彼此是相容可觀察量，這兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，可以同時地測量到 L2displaystyle L^2 與 Lzdisplaystyle L_z 的同樣的本徵值。

由於 [L^x, L^y]=iℏL^zdisplaystyle [hat L_x, hat L_y]=ihbar hat L_z ，L^xdisplaystyle hat L_x 與 L^ydisplaystyle hat L_y 互相不對易，Lxdisplaystyle L_x 與 Lydisplaystyle L_y 彼此是不相容可觀察量，這兩個算符絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，L^xdisplaystyle hat L_x 的本徵態與 L^ydisplaystyle hat L_y 的本徵態不同。

給予一個量子系統，量子態為 |ψ⟩psi rangle 。對於可觀察量算符 L^xdisplaystyle hat L_x ，所有本徵值為 lxidisplaystyle l_xi 的本徵態 |fi⟩,i=1, 2, 3, ⋯f_irangle ,quad i=1, 2, 3, cdots ，形成了一組基底量子態。量子態 |ψ⟩psi rangle 可以表達為這基底量子態的線性組合：|ψ⟩=∑i |fi⟩⟨fi|ψ⟩psi rangle =sum _i 。對於可觀察量算符 L^ydisplaystyle hat L_y ，所有本徵值為 lyidisplaystyle l_yi 的本徵態 |gi⟩,i=1, 2, 3, ⋯g_irangle ,quad i=1, 2, 3, cdots ，形成了另外一組基底量子態。量子態 |ψ⟩psi rangle 可以表達為這基底量子態的線性組合：|ψ⟩=∑i |gi⟩⟨gi|ψ⟩psi rangle 。

假若，測量可觀察量 Lxdisplaystyle L_x ，得到的測量值為其本徵值 lxidisplaystyle l_xi ，則量子態機率地塌縮為本徵態 |fi⟩f_irangle 。假若，立刻再測量可觀察量 Lxdisplaystyle L_x ，得到的答案必定是 lxidisplaystyle l_xi ，在很短的時間內，量子態仍舊處於 |fi⟩f_irangle 。可是，假若改為立刻測量可觀察量 Lydisplaystyle L_y ，則量子態不會停留於本徵態 |fi⟩f_irangle ，而會機率地塌縮為 L^ydisplaystyle hat L_y 本徵值是 lyjdisplaystyle l_yj 的本徵態 |gj⟩displaystyle 。這是量子力學裏，關於測量的一個很重要的特性。

根據不確定性原理，

ΔLx ΔLy≥|⟨[L^x, L^y]⟩2i|=ℏ|⟨L^z⟩|2displaystyle Delta L_x Delta L_ygeq left 。

Lxdisplaystyle L_x 的不確定性與 Lydisplaystyle L_y 的不確定性的乘積 ΔLx ΔLydisplaystyle Delta L_x Delta L_y ，必定大於或等於 ℏ|⟨Lz⟩|2displaystyle frac langle L_zrangle 2 。

類似地，Lxdisplaystyle L_x 與 Lzdisplaystyle L_z 之間，Lydisplaystyle L_y 與 Lzdisplaystyle L_z 之間，也有同樣的特性。

自旋-軌道作用

電子的總角動量必須包括電子的自旋。在一個真實的原子裏，因為電子環繞著原子核移動，會感受到磁場。電子的自旋與磁場產生作用 ，這現象稱為自旋-軌道作用。當將這現象納入計算，自旋與角動量不再是保守的，可以將此想像為電子的進動。為了維持保守性，必須取代量子數 ldisplaystyle l 、mdisplaystyle m 與自旋的投影 msdisplaystyle m_s ，而以量子數 jdisplaystyle j，mjdisplaystyle m_j 來計算總角動量。^[2]:271-275

精細結構

在原子物理學裏，因為一階相對論性效應，與自旋-軌道耦合，而產生的原子譜線分裂，稱為精細結構。^[2]:271-275

非相對論性、無自旋的電子產生的譜線稱為「粗略結構」。氫原子的粗略結構只跟主量子數 ndisplaystyle n 有關。可是，更精確的模型，考慮到相對論效應與自旋-軌道效應，能夠分解能級的簡併，使譜線能更精細地分裂。相對於粗略結構，精細結構是一個 α2displaystyle alpha ^2 效應；其中，αdisplaystyle alpha 是精細結構常數。

在相對論量子力學裏，狄拉克方程式可以用來計算電子的波函數。用這方法，能階跟主量子數 ndisplaystyle n 、總量子數 jdisplaystyle j 有關^[3][4]，容許的能量為

Enj=En[1+(αn)2(1j+12−34n)]displaystyle E_nj=E_nleft[1+left(frac alpha nright)^2left(frac 1j+frac 12-frac 34nright)right] 。

電子軌域圖

電子的機率密度繪圖。橫向展示不同的角量子數 (l) ,豎向展示不同的能級 (n) 。

右圖顯示出能量最低的幾個氫原子軌域（能量本徵函數）。這些是機率密度的截面的繪圖。圖內各種顏色的亮度代表不同的機率密度（黑色：0 機率密度，白色：最高機率密度）。角量子數 (ldisplaystyle l) ，以通常的光譜學代碼規則，標記在每一個縱排的最上端。sdisplaystyle s 意指 l=0,displaystyle l=0,! ，pdisplaystyle p 意指 l=1,displaystyle l=1,! ，ddisplaystyle d 意指 l=2,displaystyle l=2,! 。主量子數 (n=1, 2, 3, …)displaystyle (n=1, 2, 3, dots ) 標記在每一個横排的最右端。磁量子數 mdisplaystyle m 被設定為 0 。截面是 xz-平面（ z-軸是縱軸）。將繪圖繞著 z-軸旋轉，則可得到三維空間的機率密度。

基態是最低能級的量子態，也是電子最常找到的量子態，標記為 1sdisplaystyle 1s 態，n=1, l=0displaystyle n=1, l=0 。

特別注意，在每一個軌域的圖片內，黑線出現的次數。這些二維空間黑線，在三維空間裏，是節面 (nodal plane) 。節面的數量等於 n−1displaystyle n-1 ，是徑向節數（ n−l−1displaystyle n-l-1 ）與角節數（ ldisplaystyle l ）的總和。

穩定性

思考氫原子穩定性問題，應用經典電動力學來分析，則由於庫侖力作用，束縛電子會被原子核吸引，呈螺線運動掉入原子核，同時輻射出無窮大能量，因此原子不具有穩定性。但是，在大自然裏這虛擬現象實際並不會發生。那麼，為什麼氫原子的束縛電子不會掉入原子核裏？應用量子力學，可以計算出氫原子系統的基態能量大於某有限值，稱這結果為滿足「第一種穩定性條件」，即氫原子的基態能量 E0displaystyle E_0 大於某有限值：^[5]:10

E0>−∞displaystyle E_0>-infty 。

量子力學的海森堡不確定性原理 ΔxΔp≥ℏ/2displaystyle Delta xDelta pgeq hbar /2 可以用來啟發性地說明這問題，電子越接近原子核，電子動能越大。但是海森堡不確定性原理不能嚴格給出數學證明，有些特別案例不能滿足第一種穩定性條件，因為 Δxdisplaystyle Delta x 量度的是波函數的半寬度，而不是波函數集聚於原子核附近的程度，所以波函數可以擁有一定的半寬度，並且極度集聚於原子核附近，造成庫侖勢能趨於 −∞displaystyle -infty ，同時維持有限的動能。

更詳細分析起見，只考慮類氫原子系統，給定原子的原子序 Zdisplaystyle Z ，原子的能量 Edisplaystyle E 為^{[註 1]}

E=T+V=∫R3dx(12|∇ψ(x)|2−Z|ψ(x)|2|x|)nabla psi (x) ；

其中，Tdisplaystyle T 為動能，Vdisplaystyle V 為勢能，ψ(x)displaystyle psi (x) 為描述類氫原子系統的波函數，xdisplaystyle x 為位置坐標，R3displaystyle mathbb R ^3 為積分體積。

應用索博列夫不等式，經過一番運算，可以得到能量最大下界為。^[6]

E0=−4Z2/3 [Ry]displaystyle E_0=-4Z^2/3 [Ry] ；

其中，Rydisplaystyle Ry 是能量單位里德伯，大約為13.6eV。

總結，類氫原子滿足第一種穩定性條件這結果。

參閱

• 氘


• 氚


• 氫原子光譜


• 21公分線


• 量子化學


• 類氫原子


• 球對稱位勢


• 拉普拉斯-龍格-冷次向量

註釋

參考文獻

外部連結

• 大衛森大學物理課堂講義：關於軌域的互動繪圖
  


• 新墨西哥大學物理課堂講義：氫原子的波函數，波函數線形圖，與機率密度圖像
  


• 德瑞守大學物理課堂講義：氫原子基本量子力學概念
  

查 论 编 氢原子光谱 光譜系 1:萊曼系 2:巴耳末系 3:帕申系 4:布拉克系 5:蒲芬德系 6:韓福瑞系 关连用语 里德伯常量 里德伯公式 精细结构 超精细结构 蘭姆位移 斯塔克效应 氫原子  · 玻尔模型