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凸集

非凸集（凹集）

在点集拓扑学與欧几里得空间中，凸集（convex set）是一個點集合，其中每兩點之間的直线點都落在該點集合中。

凸集實例

• 
  區間是實數的凸集。


• 依據定義，中空的圓形稱為圆（circle），它不是凸集；實心的圓形稱為圆盘（disk），它是凸集。


• 
  凸多邊形是歐幾理得平面上的凸集，它們的每隻角都小於180度。


• 
  单纯形是凸集，對於單純形的顶点集合來說，單純形是它們的最小凸集，所以單純形也是一個凸包。


• 
  定宽曲线是凸集。

凸集的延伸不等式定義

在度量幾何中，琴生不等式（Jensen's inequality）為凸集給出一個最健全的解釋，而不必牽涉到二階導數：

假設Sdisplaystyle S為在實或複向量空間的集。若對於所有x,y∈Sdisplaystyle x,yin S和所有t∈[0,1]displaystyle tin [0,1]，有(1−t)x+ty∈Sdisplaystyle (1-t)x+tyin S，則稱Sdisplaystyle S為凸集。

簡單而言，就是Sdisplaystyle S中的任何兩點之間的直線段都屬於Sdisplaystyle S。因此，凸集是一個連通空間。

特殊凸集

特殊凸集是特別給了名稱的凸集，它們可能是具有額外性質的凸集，或是在某種定義下的凸集（非一般定義中的凸集）。

具有額外性質的凸集

• 
  絕對凸集：若Sdisplaystyle S既是凸集又是平衡集，則稱Sdisplaystyle S為絕對凸的。

在某種定義下的凸集

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  星形凸集：若集Sdisplaystyle S中存在一點x0displaystyle x_0，使得由x0displaystyle x_0到Sdisplaystyle S中任何一點的直線段都屬於Sdisplaystyle S，則稱Sdisplaystyle S為星形域或星形凸集。星形域是簡單連通的。

性質

若Sdisplaystyle S是凸集，對於任意u1,u2,…,ur∈Sdisplaystyle u_1,u_2,ldots ,u_rin S，及所有非負數λ1,λ2,…,λrdisplaystyle lambda _1,lambda _2,ldots ,lambda _r滿足λ1+λ2+⋯+λr=1displaystyle lambda _1+lambda _2+cdots +lambda _r=1，都有
∑k=1rλkuk∈Sdisplaystyle sum _k=1^rlambda _ku_kin S。這個向量稱為u1,u2,…,urdisplaystyle u_1,u_2,ldots ,u_r的凸組合。

非歐幾何的凸集

對於非歐平面，可用測地線來取代在歐幾理德凸集的定義內直線段。

參見

• 凸函數


• 凸包