高斯函数

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用期望值及方差作为参数表示的高斯曲线(参见正态分布)
高斯函数的形式为
- f(x)=ae−(x−b)2/2c2displaystyle f(x)=ae^-(x-b)^2/2c^2

的函数。其中a、b与 c为实数常数,且a > 0.
c2 = 2的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅仅是另一个高斯函数,而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。
高斯函数属于初等函数,但它没有初等不定积分。但是仍然可以在整个实数轴上计算它的广义积分(参见高斯积分):
∫−∞∞e−ax2dx=πadisplaystyle int _-infty ^infty e^-ax^2,dx=sqrt frac pi a
。
应用
高斯函数的不定积分是误差函数。在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都有高斯函数的身影,这方面的例子包括:
- 在统计学与概率论中,高斯函数是正态分布的密度函数,根据中心极限定理它是复杂总和的有限概率分布。
- 高斯函数是量子谐振子基态的波函数。
计算化学中所用的分子轨道是名为高斯轨道的高斯函数的线性组合(参见量子化学中的基组)。
- 在数学领域,高斯函数在埃尔米特多项式的定义中起着重要作用。
- 高斯函数与量子场论中的真空态相关。
- 在光学以及微波系统中有高斯波束的应用。
- 高斯函数在图像处理中用作预平滑核(参见尺度空间表示)。
参见
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