Xrthnty

在数论中，雅可比符号是勒让德符号的一种推广，首先由普鲁士数学家卡尔·雅可比在1837年引进^[1]。雅可比符号在数论中的各个分支中都有应用，尤其是在计算数论的素性检验、大数分解以及密码学中有重要作用。

定义

勒让德符号(ap)displaystyle (tfrac ap)是对于所有的正整数 adisplaystyle a 和所有的素数 pdisplaystyle p 定义的。

(ap)={0+1−1displaystyle left(frac apright)=begincases;;,0\+1\-1endcases	如果p整除a；
	如果存在整数 Xdisplaystyle X 使得 X2≡a(modp)displaystyle X^2equiv apmod p 且p不整除a
	如果不存在整数 Xdisplaystyle X 使得 X2≡a(modp)displaystyle X^2equiv apmod p

.

；

.

.

当(ap)=1displaystyle (frac ap)=1 时，稱adisplaystyle a 是模pdisplaystyle p的二次剩餘；当(ap)=−1displaystyle (frac ap)=-1 时，稱adisplaystyle a 是模pdisplaystyle p的二次非剩餘。

运用勒让德符号计算时要将 adisplaystyle a 分解成标准形式，计算上十分麻烦，因此产生了雅可比符号：

设 mdisplaystyle m 是一个正奇数，其质因数分解式为 m=∏i=1spidisplaystyle m=prod _i=1^sp_i，并且正整数 adisplaystyle a 满足 (m,a)=1displaystyle (m,a)=1 那么定义(am)=∏i=1s(api)displaystyle (frac am)=prod _i=1^s(frac ap_i)。

参见

• 
  克罗内克符号，将雅可比符号推广到任意自然数上。

注释

参考来源

• 
  Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), Cambridge: The MIT Press, 1966, ISBN 0-262-02045-5 请检查|isbn=值 (帮助) 
  

• 
  Lemmermeyer, Franz, Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein, Berlin: Springer, 2000, ISBN 3-540-66967-4 请检查|isbn=值 (帮助) 
  

• 
  Ireland, Kenneth; Rosen, Michael, A Classical Introduction to Modern Number Theory (Second edition), New York: Springer, 1990, ISBN 0-387-97329-X 
  

• 
  Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, 1965, ISBN 0-8284-0191-8 
  

• 
  Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English), Disquisitiones Arithemeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, 1986, ISBN 0387962549 
  

外部链接

• 
  Calculate Jacobi symbol gives a display like the ones in the examples.