Xrthnty

三条直线：紅線與藍線有相同的斜率, 紅線與綠線有相同的y-截距 。

直線，是一個點在平面或空間沿著一定方向和其相反方向運動的軌跡；不彎曲的線。直線是幾何學的基本概念，在不同的幾何學體系中有著不同的描述。在這裡主要描述歐幾里得空間中的直線。其他曲率非零狀況下的直線，請參考非歐幾里得幾何。

歐幾里得幾何研究曲率為零的空間下狀況，它並未對點、直線、平面、空間給出定義，而是通過公理來描述點線面的關係。
歐幾里得幾何中的直線可以看作是一個點的集合，這個集合中的任意一點都在這個集合中的其他任意兩點所確定的直綫上。

“過兩點有且只有一條直線”是歐幾里得幾何體系中的一條公理，“有且只有”意即“確定”，即兩點確定一直線。

在幾何學中，直線沒有粗細、沒有端點、沒有方向性、具有無限的長度、具有確定的位置。

線性方程

在解析幾何中，我們常用線性方程描述一條直線。

二維直角坐標系方程

平行於x-或y-軸

最簡單的直線方程是平行於x-軸或y-軸的直線：

x=adisplaystyle x=a; 或 y=bdisplaystyle ;y=b，

當中 adisplaystyle a 和 bdisplaystyle b 分別是x-和y-截距。

一般式

對於所有的直線，都可以形式

Ax+By+C=0displaystyle Ax+By+C=0

來表示。

這表示示形式並不是唯一的，但習慣上常限制 A≥0displaystyle Ageq 0 及 gcd(A,B,C)=1displaystyle gcd(A,B,C)=1 。在此限制下，同一條直線只有一種表達形式。

在這形式下，直線的斜率是 −ABdisplaystyle -frac AB ，x-截距是 −CAdisplaystyle -frac CA ，y-截距是 −CBdisplaystyle -frac CB 。

斜截式

在直線不平行於y-軸時，若斜率是 mdisplaystyle m ，y-截距是 bdisplaystyle b ，則有方程

y=mx+bdisplaystyle y=mx+b 。

在這形式下，直線的表達形式是唯一的。

二點式

若直線穿過兩點 (x1,y1)displaystyle (x_1,y_1) 和 (x2,y2)displaystyle (x_2,y_2) ，則有方程

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1displaystyle frac x-x_1x_2-x_1=frac y-y_1y_2-y_1。

等價地，可以用行列式

|xy1x1y11x2y21|=0displaystyle beginvmatrixx&y&1\x_1&y_1&1\x_2&y_2&1endvmatrix=0

表示。

點斜式

若直線穿過一點 (x0,y0)displaystyle (x_0,y_0) ，而且斜率是 mdisplaystyle m，則有方程

y−y0=m(x−x0)displaystyle y-y_0=m,(x-x_0)。

截距式

若直線的x-和y-截距分別是 adisplaystyle a 和 bdisplaystyle b ，則方程為

xa+yb=1displaystyle x over a+y over b=1。

法線式

過原點向直線作一垂直線段，若該線長度為 pdisplaystyle p ，且與正x-軸的傾斜角為 αdisplaystyle alpha ，則有方程

xcos⁡α+ysin⁡α−p=0displaystyle xcos alpha +ysin alpha -p=0。

向量式

若直線穿過一點 a=[x0y0]displaystyle mathbf a =beginbmatrixx_0\y_0\endbmatrix ，且有方向向量 u=[uxuy]displaystyle mathbf u =beginbmatrixu_x\u_y\endbmatrix ，則有向量方程

r=a+λudisplaystyle mathbf r =mathbf a +lambda mathbf u ，

當中 r=[xy]displaystyle mathbf r =beginbmatrixx\y\endbmatrix ，而 λdisplaystyle lambda 是一任意實數。

須要注意的是，這直線的表達形式並不是唯一的。

參數式

從向量式出發，可以參數 λdisplaystyle lambda 表示方程

x=x0+uxλy=y0+uyλdisplaystyle beginalignedat5x&&;=;&&x_0&&;+;&&u_xlambda &\y&&;=;&&y_0&&;+;&&u_ylambda endalignedat ，

其中 λdisplaystyle lambda 是一任意實數。

三維直角坐標系方程

在三維坐標上，由於一條等式只代表一個平面，一條直線須由最少兩條等式定義。

平行於x-、y-或z-軸

平行於x-、y-或z-軸的直線有方程

y=bz=cdisplaystyle beginalignedat3y&&;=;&&b&\z&&;=;&&cendalignedat, 、x=az=cdisplaystyle ,beginalignedat3x&&;=;&&a&\z&&;=;&&cendalignedat, 或 x=ay=bdisplaystyle ,beginalignedat3x&&;=;&&a&\y&&;=;&&bendalignedat

的形式。

一般式

對於任何直線，一般式都能以兩個非平行平面定義：

A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0displaystyle beginalignedat9A_1x&&;+;&&B_1y&&;+;&&C_1z;&&+;&&D_1;&&=;&&0&\A_2x&&;+;&&B_2y&&;+;&&C_2z;&&+;&&D_2;&&=;&&0endalignedat ，

其中 A1:B1:C1≠A2:B2:C2displaystyle A_1:B_1:C_1neq A_2:B_2:C_2 。

由於從一條直線可引申出無限對平面，這表示方式並不是唯一的。因此又能考慮以三個共線平面定義：

Ax−By+D=0Cy−Az+E=0Bz−Cx+F=0displaystyle beginalignedat7Ax&&;-;&&By&&;+;&&D;&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E;&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F;&&=;&&0endalignedat，

或合併記作

Ax−By+D=Cy−Az+E=Bz−Cx+F=0displaystyle Ax-By+D=Cy-Az+E=Bz-Cx+F=0，

其中係數須乎合關係 AF+BE+CD=0displaystyle AF+BE+CD=0 ，以保證三個平面相交於同一直線。

事實上，這三條等式分別對應著直線在xy-、yz-和xz-平面的投影。

在限制 A≥0displaystyle Ageq 0 及 gcd(A,B,C,D,E,F)=1displaystyle gcd(A,B,C,D,E,F)=1 下，同一條直線只有一種表達形式。

（注：對於平行於軸平面的直線，例如 2y−3z+1=x−1=0displaystyle 2y-3z+1=x-1=0 ，會有以下表示方式：

3x−3=02y−3z+1=0−2x+2=0displaystyle beginalignedat73x&&;;&&&&;-;&&3;&&=;&&0\2y&&;-;&&3z&&;+;&&1;&&=;&&0\&&;-;&&2x&&;+;&&2;&&=;&&0endalignedat 。

對於定義一條直線，這步驟是非必要的。但在本頁往後的部份，這表示方式能簡化一些公式。）

斜截式

類似於二維的情形，在直線不平行於yz-軸平面時，可以寫成

y=mx+bz=nx+cdisplaystyle beginalignedat5y&&;=;&&mx&&;+;&&b\z&&;=;&&nx&&;+;&&cendalignedat

的形式。

在這形式下，直線的表達形式是唯一的。

（注：對於直線平行於yz-平面時，以上方式並不適用。但直線仍可表示成

x=az=ny+cdisplaystyle beginalignedat2x;&=;a\z;&=;ny+cendalignedat 。）

二點式

若直線穿過兩點 (x1,y1,z1)displaystyle (x_1,y_1,z_1) 和 (x2,y2,z2)displaystyle (x_2,y_2,z_2) ，則有方程

x−x1x2−x1=y−y1y2−y1=z−z1z2−z1displaystyle frac x-x_1x_2-x_1=frac y-y_1y_2-y_1=frac z-z_1z_2-z_1 。

等價地，可以用行列式

|xy1x1y11x2y21|=|yz1y1z11y2z21|=|zx1z1x11z2x21|=0displaystyle beginvmatrixx&y&1\x_1&y_1&1\x_2&y_2&1endvmatrix=beginvmatrixy&z&1\y_1&z_1&1\y_2&z_2&1endvmatrix=beginvmatrixz&x&1\z_1&x_1&1\z_2&x_2&1endvmatrix=0

表示。

向量式

若直線穿過一點 a=[x0y0z0]displaystyle mathbf a =beginbmatrixx_0\y_0\z_0\endbmatrix ，且有方向向量 u=[uxuyuz]displaystyle mathbf u =beginbmatrixu_x\u_y\u_z\endbmatrix ，則有向量方程

r=a+λudisplaystyle mathbf r =mathbf a +lambda mathbf u ，

當中 r=[xyz]displaystyle mathbf r =beginbmatrixx\y\z\endbmatrix ，而 λdisplaystyle lambda 是一任意實數。

須要注意的是，這直線的表達形式並不是唯一的。

參數式

從向量式出發，可以參數 λdisplaystyle lambda 表示方程

x=x0+uxλy=y0+uyλz=z0+uzλdisplaystyle beginalignedat5x&&;=;&&x_0&&;+;&&u_xlambda &\y&&;=;&&y_0&&;+;&&u_ylambda &\z&&;=;&&z_0&&;+;&&u_zlambda endalignedat ，

其中 λdisplaystyle lambda 是一任意實數。

直線與解析幾何

點與直線的距離

一般情況下，點與直线的距离，是指點到直線的最短距離，即垂直距離。

在二維直角坐標中，直線 Ax+By+C=0displaystyle Ax+By+C=0 與點 (p,q)displaystyle (p,q) 的最短距離為

d=|Ap+Bq+C|A2+B2displaystyle d=frac Ap+Bq+Crightsqrt A^2+B^2

給出向量式 r=a+λudisplaystyle mathbf r =mathbf a +lambda mathbf u 和 點 p=[pq]displaystyle mathbf p =beginbmatrixp\q\endbmatrix ，則有距離

d=|(a−p)×u||u|displaystyle d=frac left

在三維直角坐標中，直線 Ax−By+D=0Cy−Az+E=0Bz−Cx+F=0displaystyle beginalignedat7Ax&&;-;&&By&&;+;&&D;&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E;&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F;&&=;&&0endalignedat 與點 (p,q,r)displaystyle (p,q,r) 的最短距離為

d=(Ap−Bq+D)2+(Cq−Ar+E)2+(Br−Cp+F)2A2+B2+C2displaystyle d=sqrt frac (Ap-Bq+D)^2+(Cq-Ar+E)^2+(Br-Cp+F)^2A^2+B^2+C^2。

給出向量式 r=a+λudisplaystyle mathbf r =mathbf a +lambda mathbf u 和點 p=[pqr]displaystyle mathbf p =beginbmatrixp\q\r\endbmatrix ，則有距離

d=|(a−p)×u||u|displaystyle d=frac left

两条相交直线的相交點

不考慮重合的情形，在二維平面中，兩條相交直線可以相交或平行。

給定兩條直线 A1x+B1y+C1=0displaystyle A_1x+B_1y+C_1=0 和 A2x+B2y+C2=0displaystyle A_2x+B_2y+C_2=0 ，二者相交的條件是

A1:B1≠A2:B2displaystyle A_1:B_1neq A_2:B_2。

或等價地，

|A1B1A2B2|≠0displaystyle beginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrixneq 0，

當中 |abcd|=ad−bcdisplaystyle beginvmatrixa&b\c&dendvmatrix=ad-bc。

這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得

x=−|C1B1C2B2||A1B1A2B2|displaystyle x=-frac beginvmatrixC_1&B_1\C_2&B_2endvmatrixbeginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrix ， y=−|A1C1A2C2||A1B1A2B2|displaystyle y=-frac beginvmatrixA_1&C_1\A_2&C_2endvmatrixbeginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrix。

在三維空間中，不考慮重合的情形，兩條直線可以相交、平行或歪斜（異面）。

給定兩條直线 A1x−B1y+D1=0C1y−A1z+E1=0B1z−C1x+F1=0displaystyle beginalignedat7A_1x&&;-;&&B_1y&&;+;&&D_1;&&=;&&0&\C_1y&&;-;&&A_1z&&;+;&&E_1;&&=;&&0&\B_1z&&;-;&&C_1x&&;+;&&F_1;&&=;&&0endalignedat 及 A2x−B2y+D2=0C2y−A2z+E2=0B2z−C2x+F2=0displaystyle beginalignedat7A_2x&&;-;&&B_2y&&;+;&&D_2;&&=;&&0&\C_2y&&;-;&&A_2z&&;+;&&E_2;&&=;&&0&\B_2z&&;-;&&C_2x&&;+;&&F_2;&&=;&&0endalignedat ，二者相交的條件是

|A1B1A2B2|displaystyle beginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrix 、 |B1C1B2C2|displaystyle beginvmatrixB_1&C_1\B_2&C_2endvmatrix 及 |C1A1C2A2|displaystyle beginvmatrixC_1&A_1\C_2&A_2endvmatrix 不全為 0displaystyle 0 ，且

A1F2+A2F1+B1E2+B2E1+C1D2+C2D1=0displaystyle A_1F_2+A_2F_1+B_1E_2+B_2E_1+C_1D_2+C_2D_1=0。

這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得

x=−|D1B1D2B2||A1B1A2B2|=|B1F1B2F2||B1C1B2C2|displaystyle x=-frac beginvmatrixD_1&B_1\D_2&B_2endvmatrixbeginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrix=frac beginvmatrixB_1&F_1\B_2&F_2endvmatrixbeginvmatrixB_1&C_1\B_2&C_2endvmatrix ， y=|A1D1A2D2||A1B1A2B2|=−|E1A1E2A2||C1A1C2A2|displaystyle y=frac beginvmatrixA_1&D_1\A_2&D_2endvmatrixbeginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrix=-frac beginvmatrixE_1&A_1\E_2&A_2endvmatrixbeginvmatrixC_1&A_1\C_2&A_2endvmatrix ， z=|C1E1C2E2||C1A1C2A2|=−|F1C1F2C2||B1C1B2C2|displaystyle z=frac beginvmatrixC_1&E_1\C_2&E_2endvmatrixbeginvmatrixC_1&A_1\C_2&A_2endvmatrix=-frac beginvmatrixF_1&C_1\F_2&C_2endvmatrixbeginvmatrixB_1&C_1\B_2&C_2endvmatrix 。

两条相交直线的夹角

若兩線相交，則會形成夾角。兩線之間的夾角，通常指不大於90°的一隻。

在二維平面上，給定直线 y=mx+bdisplaystyle y=mx+b ，該線與x-軸的夾角為

tan⁡θ=|m|displaystyle tan theta =left 。

給定兩條直线 y=m1x+b1displaystyle y=m_1x+b_1 和 y=m2x+b2displaystyle y=m_2x+b_2 ，二者互相垂直當且僅當

m1m2=−1displaystyle m_1m_2=-1 。

而其他情況，兩線相交所形成的夾角 θdisplaystyle theta （0∘≤θ<90∘displaystyle 0^circ leq theta <90^circ ），則由

tan⁡θ=|m1−m21+m1m2|frac m_1-m_21+m_1m_2right

給出。

給定相交直线向量式 r=a1+λu1displaystyle mathbf r =mathbf a_1 +lambda mathbf u_1 和 r=a2+μu2displaystyle mathbf r =mathbf a_2 +mu mathbf u_2 ，則有

cos⁡θ=u1⋅u2|u1||u2|displaystyle cos theta =frac mathbf u_1 cdot mathbf u_2 mathbf u_1 right 。

在三維空間中，給定兩條相交直线 y=m1x+b1z=n1x+c1displaystyle beginalignedat5y&&;=;&&m_1x&&;+;&&b_1\z&&;=;&&n_1x&&;+;&&c_1endalignedat 和 y=m2x+b2z=n2x+c2displaystyle beginalignedat5y&&;=;&&m_2x&&;+;&&b_2\z&&;=;&&n_2x&&;+;&&c_2endalignedat ，二者互相垂直當且僅當

m1m2+n1n2=−1displaystyle m_1m_2+n_1n_2=-1 。

而其他情況，兩線相交所形成的夾角 θdisplaystyle theta （0∘≤θ<90∘displaystyle 0^circ leq theta <90^circ ），則由

tan⁡θ=(m1−m2)2+(n1−n2)2+|m1m2n1n2|2|1+m1m2+n1n2|displaystyle tan theta =frac sqrt (m_1-m_2)^2+(n_1-n_2)^2+beginvmatrixm_1&m_2\n_1&n_2endvmatrix^2left

給出，當中 |abcd|=ad−bcdisplaystyle beginvmatrixa&b\c&dendvmatrix=ad-bc 。

若取 n1=n2=0displaystyle n_1=n_2=0 ， 則公式退化成二維的形式。

給定相交直线向量式 r=a1+λu1displaystyle mathbf r =mathbf a_1 +lambda mathbf u_1 和 r=a2+μu2displaystyle mathbf r =mathbf a_2 +mu mathbf u_2 ，則有

cos⁡θ=u1⋅u2|u1||u2|displaystyle cos theta =frac mathbf u_1 cdot mathbf u_2 mathbf u_1 right。

两条直线的距離

一般情況下，两条直线的距离，是指最短距離。

二維情況下，两条相交直线的距离必然為 0displaystyle 0 。

若有两條平行直线 Ax+By+C1=0displaystyle Ax+By+C_1=0 及 Ax+By+C2=0displaystyle Ax+By+C_2=0 ，則有距離

d=|C1−C2|A2+B2displaystyle d=frac leftsqrt A^2+B^2。

給定平行向量式 r=a1+λudisplaystyle mathbf r =mathbf a_1 +lambda mathbf u 和 r=a2+μudisplaystyle mathbf r =mathbf a_2 +mu mathbf u ，則有

d=|(a1−a2)×u||u|displaystyle d=frac 。

三維情況下，两条相交直线的距离同樣必然為 0displaystyle 0 。

若有两條平行直线 Ax−By+D1=0Cy−Az+E1=0Bz−Cx+F1=0displaystyle beginalignedat7Ax&&;-;&&By&&;+;&&D_1;&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E_1;&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F_1;&&=;&&0endalignedat 及 Ax−By+D2=0Cy−Az+E2=0Bz−Cx+F2=0displaystyle beginalignedat7Ax&&;-;&&By&&;+;&&D_2;&&=;&&0&\Cy&&;-;&&Az&&;+;&&E_2;&&=;&&0&\Bz&&;-;&&Cx&&;+;&&F_2;&&=;&&0endalignedat ，則有距離

d=(D1−D2)2+(E1−E2)2+(F1−F2)2A2+B2+C2displaystyle d=sqrt frac (D_1-D_2)^2+(E_1-E_2)^2+(F_1-F_2)^2A^2+B^2+C^2。

給定平行直線向量式 r=a1+λudisplaystyle mathbf r =mathbf a_1 +lambda mathbf u 和 r=a2+μudisplaystyle mathbf r =mathbf a_2 +mu mathbf u ，則有

d=|(a1−a2)×u||u|displaystyle d=frac 。

兩條歪斜直線（即既非相交，亦非平行）有方程 A1x−B1y+D1=0C1y−A1z+E1=0B1z−C1x+F1=0displaystyle beginalignedat7A_1x&&;-;&&B_1y&&;+;&&D_1;&&=;&&0&\C_1y&&;-;&&A_1z&&;+;&&E_1;&&=;&&0&\B_1z&&;-;&&C_1x&&;+;&&F_1;&&=;&&0endalignedat 及 A2x−B2y+D2=0C2y−A2z+E2=0B2z−C2x+F2=0displaystyle beginalignedat7A_2x&&;-;&&B_2y&&;+;&&D_2;&&=;&&0&\C_2y&&;-;&&A_2z&&;+;&&E_2;&&=;&&0&\B_2z&&;-;&&C_2x&&;+;&&F_2;&&=;&&0endalignedat ，則有距離

d=|A1F2+A2F1+B1E2+B2E1+C1D2+C2D1||A1B1A2B2|2+|B1C1B2C2|2+|C1A1C2A2|2displaystyle d=frac leftsqrt beginvmatrixA_1&B_1\A_2&B_2endvmatrix^2+beginvmatrixB_1&C_1\B_2&C_2endvmatrix^2+beginvmatrixC_1&A_1\C_2&A_2endvmatrix^2 ，

當中 |abcd|=ad−bcdisplaystyle beginvmatrixa&b\c&dendvmatrix=ad-bc 。

給定歪斜直線向量式 r=a1+λu1displaystyle mathbf r =mathbf a_1 +lambda mathbf u_1 和 r=a2+μu2displaystyle mathbf r =mathbf a_2 +mu mathbf u_2 ，則有距離

d=|(a1−a2)⋅(u1×u2)||u1×u2|displaystyle d=frac (mathbf a_1 -mathbf a_2 )cdot (mathbf u_1 times mathbf u_2 )rightmathbf u_1 times mathbf u_2 right。

相關條目

• 解析幾何


• 點


• 平面


• 相交


• 平行


• 歪斜

參考資料

• 俞正光、李永乐、詹汉生编，《线性代数与解析几何》，清华大学出版社。


• 吕林根，《解析几何》，高等教育出版社。


• 
  Line ，Wolfram MathWorld。


• 
  Equations of a Straight Line ，Cut-the-Knot。