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循環小數

	1
	7

=0.142857142857…

循环小数，是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。可分为有限循环小数和无限循环小数。

定義

循環小數即為有理數的小數表示形式，例：

54=1.25=1.25000000⋯=1.250¯displaystyle 5 over 4=1.25=1.25000000cdots =1.25overline 0

13=0.3333333⋯=0.3¯displaystyle 1 over 3=0.3333333cdots =0.overline 3

17=0.142857142857⋯=0.142857¯displaystyle 1 over 7=0.color red142857color blue142857cdots =0.overline 142857

性质

• 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。


• 根據分數badisplaystyle frac ba的情況分開討論

1.除数a为2m×5n×Kdisplaystyle 2^mtimes 5^ntimes K的倍數时，b÷adisplaystyle bdiv a有max(m,n)个不循环位数，其中bdisplaystyle b為任意自然數，Kdisplaystyle K為非2m,5ndisplaystyle 2^m,5^n之其他數。

2.如果1⩽b<adisplaystyle 1leqslant b<a，a不是2或5的倍数，並且a與b互質，那麼存在一個正整數e，e為b÷adisplaystyle bdiv a的循環節位數，而e=min⁡e∈N:10e≡1(moda)displaystyle operatorname min leftein mathbb N :10^eequiv 1pmod aright。^[1]

10e≡1(moda)displaystyle 10^eequiv 1pmod a表示10e−1displaystyle 10^e-1可以整除a，或稱10edisplaystyle 10^e與1同餘）

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:10d×ba=q+badisplaystyle frac 10^dtimes ba=q+frac ba來看，b>adisplaystyle b>a也成立，例如27displaystyle frac 27與97displaystyle frac 97，兩者循環小數一致，因為87=1+17displaystyle frac 87=1+frac 17，只差別在商，餘數皆為1(同餘)故成立。

事實上以該參考文獻的定理一公式推導式子:(10d−1)×b=a×qdisplaystyle 10^d-1)times b=atimes q來看，a與b不互質也成立，因為(10ddisplaystyle 10^d - 1)×b=a×qdisplaystyle times b=atimes q同除以a與b之公因數仍成立。

3.承接以上兩點，當除数a可以質因數標準分解式表示成(2m×5n)×(P1S1×P2S2×displaystyle (2^mtimes 5^n)times (P1^S1times P2^S2times ⋯×PnSn)displaystyle times Pn^Sn)時，會有max(m,n)個不循環位數，和Edisplaystyle E個循環節位數。

其中，P1S1displaystyle P1^S1, P2S2displaystyle P2^S2,⋯,PnSndisplaystyle Pn^Sn分別各有e₁,e₂,...,e_n個循環節位數，存在一個最小公倍數E=[displaystyle E=[e₁,e₂,...,e_n]displaystyle ]。

例：1122×32×53×7×17displaystyle frac 112^2times 3^2times 5^3times 7times 17的循環節個數？

答：前三位不循環（2 和 5 的最高次方為 3），循環節個數是 48（因為32displaystyle 3^2的循環節位數為1，7的循環節位數為6，17的循環節位數為16，[1,6,16]=48）^[2]

化為分數的方法

1. 先看有幾位「非循環節位數（ndisplaystyle color bluen,!）」和「循環節位數（mdisplaystyle color redm,!）」，算出後，將999⋯9⏟m000⋯0⏟ndisplaystyle beginmatrixunderbrace 999cdots 9 \color redm,!endmatrixbeginmatrixunderbrace 000cdots 0 \color bluen,!endmatrix擺於「分母」。


2. 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯andisplaystyle a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n，詳細公式如下。


3. 公式：0.a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm¯=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯an999⋯9⏟m000⋯0⏟ndisplaystyle 0.a_1a_2a_3cdots a_color bluen,!overline b_1b_2b_3cdots b_color redm,!=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n over beginmatrixunderbrace 999cdots 9 \color redm,!endmatrixbeginmatrixunderbrace 000cdots 0 \color bluen,!endmatrix
   


4. 原理：
   
   1. 令x=0.a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm¯displaystyle x=0.a_1a_2a_3cdots a_noverline b_1b_2b_3cdots b_m。
   
   
   2. 則10nx=a1a2a3⋯an.b1b2b3⋯bm¯displaystyle 10^nx=a_1a_2a_3cdots a_n.overline b_1b_2b_3cdots b_m──①式。
   
   
   3. 
      10n+mx=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm.b1b2b3⋯bm¯displaystyle 10^n+mx=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m.overline b_1b_2b_3cdots b_m──②式。
   
   
   4. ②－①⇒(10n+m−10n)x=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯andisplaystyle left(10^n+m-10^nright)x=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n。
   
   
   5. 
      x=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯an10n+m−10n=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯an10n(10m−1)=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯an1000⋯0⏟n×999⋯9⏟m=a1a2a3⋯anb1b2b3⋯bm−a1a2a3⋯an999⋯9⏟m000⋯0⏟ndisplaystyle beginalignedx&=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n over 10^n+m-10^n\&=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n over 10^nleft(10^m-1right)\&=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n over beginmatrixunderbrace 1000cdots 0 \nendmatrixtimes beginmatrixunderbrace 999cdots 9 \mendmatrix\&=a_1a_2a_3cdots a_nb_1b_2b_3cdots b_m-a_1a_2a_3cdots a_n over beginmatrixunderbrace 999cdots 9 \mendmatrixbeginmatrixunderbrace 000cdots 0 \nendmatrix\endaligned。
   
   


5. 範例：0.123¯=123−1990=61495displaystyle 0.1overline 23=frac 123-1990=frac 61495。
   
   1. 令x=0.123¯displaystyle x=0.1overline 23
      
   
   
   2. 則10x=1.23¯displaystyle 10x=1.overline 23、1000x=123.23¯displaystyle 1000x=123.overline 23
      
   
   
   3. 兩式相減得(1000−10)x=123−1displaystyle left(1000-10right)x=123-1，990x=122displaystyle 990x=122,!
      
   
   
   4. ∴x=61495displaystyle x=frac 61495。
   
   

计算方法

利用短除法可以将分数(有理数，Qdisplaystyle mathbb Q )转化为循环小数。

例如37displaystyle frac 37可以用短除法计算如下：

7|3.00000000000000000
 0.42857142857142857...

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

• 使用「上划线」表示，如：

170=0.0142857¯displaystyle 1 over 70=0.0overline 142857

• 使用「上点」表示，如：

170=0.01˙42857˙displaystyle 1 over 70=0.0dot 14285dot 7

• 使用「大括号」表示，如：

170=0.0142857displaystyle 1 over 70=0.0142857

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如1.000000⋯=1.0¯=0.9¯=0.999999⋯displaystyle 1.000000cdots =1.overline 0=0.overline 9=0.999999cdots

与進位制系統密切相关

由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。如117=0.05882352941176470588235294117647⋯=0.0588235294117647¯displaystyle 1 over 17=0.color red0588235294117647color blue0588235294117647cdots =0.overline 0588235294117647

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。如117=111(16)=0.0F0F⋯(16)=0.0F¯(16)displaystyle 1 over 17=1 over 11_(16)=0.color red0Fcolor blue0Fcdots _(16)=0.overline 0F_(16)

参考资料

參見

• 0.999…


• Midy定理

外部連結

• 循環節、非循環節與分母的關係