Xrthnty

函数

displaystyle f()

就像機器或黑箱，给予输入值

x

便產生唯一输出值

f(x)

。

函數在數學中為兩集合間的一種對應關係：輸入值集合中的每項元素皆能對應唯一一項輸出值集合中的元素。例如實數x對應到其平方x²的關係就是一個函數，若以3作為此函數的輸入值，所得的輸出值便是9。

為方便起見，一般做法是以符號 $f,g,h$ 等等來指代一個函數。若函數 $f$ 以 $x$ 作為輸入值，則其輸出值一般寫作 $f(x)$ ，讀作f of x。上述的平方函數關係寫成數學式記為 $f(x)=x^2$ 。函數的概念並不局限於數之間的映射關係，例如若定義函數 $displaystyle operatorname Capital ()$ 為每个国家当前的首都，那麼給予輸入值西班牙就會輸出唯一值馬德里： $displaystyle operatorname Capital (mathrm Spain )=mathrm Madrid$ 。氣溫的分佈也能用函數表達，以時間和地點作為參量輸入，以該時該地的溫度作為輸出。表達函数有多种方式，例如解析法是用数学式表达两个变量之间的对应关系，图像法是用坐标系上的函數圖形表达两个变量之间的对应关系，列表法用表格表达两个变量之间的对应关系。

現代數學中^[1]，函数所有输入值的集合被称作該函数的定义域，而其輸出值所存在的集合稱為上域或對應域。其中值域特指該函數的输出值集合，意即上域包含了值域，值域為上域的子集。通常輸入值稱作函數的參數或參量，輸出值稱作函數的值。函數將有效的輸入值變換為唯一的輸出值，同一輸入總是對應同一輸出，但反之未必成立。因此如 $displaystyle mathrm Root (x)=pm sqrt x$ 這樣的表達式並沒有定義出一个函数，因为输出值有兩個可能。定義函數時需確定每一个输入值只对应唯一输出值，因此必须明确地选择一个平方根。例如定义 $displaystyle mathrm Posroot (x)=sqrt x$ ，亦即对于任何非负输入值，选择其非负平方根作为函数值。

函數可以看作機器或黑箱，通常最常見的函數的參數和函數值都是數字，其對應關係用函數式表示，函數值可以通過直接將參數值代入函數式得到。 $f(x)=x^2$ ， $x$ 的平方即是函數值。也可以將函數很簡單的推廣到與多個參量相關的情況。例如 $g(x,y)=xy$ 有兩個參量 $x$ 和 $y$ ，以乘積 $xy$ 為值。將這兩個輸入看作一個有序對 $(x,y)$ 。 $g$ 即為以這個有序對 $(x,y)$ 作參數的函數，而函數值是 $xy$ 。函數能被抽象定義為某種數學關係，由於其定義的一般性，在幾乎所有的數學分支都是基礎概念。一些領域中比如在λ演算中，函数可以是作為一個原始概念而不像在集合論般有所定义。在大部分的数学领域内，术语对应、映射、变换通常是函数的近义词。不過某些情況這些術語可能有別的特定意思，例如在拓扑學中一个映射有时被定义成一个连续函数。

定義

函数f的部分图像。每个实数的x都与f（x） = x³ − 9x相联系。

从输入值集合 $X$ 到可能的输出值集合 $Y$ 的函数 $f$ （记作 $f:Xto Y$ ）是 $X$ 与 $Y$ 的关系，满足如下条件：

$f$ 是完全的：对集合 $X$ 中任一元素 $x$ 都有集合 $Y$ 中的元素 $y$ 满足 $xfy$ （ $x$ 与 $y$ 是 $f$ 相关的）。即，对每一个输入值， $y$ 中都有与之对应的输出值。

$f$ 是多对一的：若 $f(x)=y$ 且 $f(x)=z$ ，则 $y=z$ 。即，多个输入可以映射到一个输出，但一个输入不能映射到多个输出。

定义域中任一 $x$ 在到達域中唯一对应的 $y$ 记为 $f(x)$ 。

比上面定义更简明的表述如下：从 $X$ 映射到 $Y$ 的函数 $f$ 是 $X$ 与 $Y$ 的直积 $Xtimes Y$ 的子集。 $X$ 中任一 $x$ 都与 $Y$ 中的 $y$ 唯一对应，且有序对 $(x,y)$ 属于 $f$ 。

$X$ 与 $Y$ 的关系若满足条件（1），则为多值函数。函数都是多值函数，但多值函数不都是函数。 $X$ 与 $Y$ 的关系若满足条件（2），则为偏函数。函数都是偏函数，但偏函数不都是函数。除非特别指明，本條目中的“函数”总是指同时满足以上两个条件的关系。
考虑如下例子：

（1）一對多。X中的元素3与Y中的两个元素b和c相关。因此这是多值函数，而不是函数。

（2）多对一或一對一。X的元素1未与Y的任一元素相关。因此这是偏函数，而不是函数。

（3）完全對應且多对一，因此这是从X到Y的函数。此函数可以表示为

f =(1, d), (2, d), (3, c)

，或

f(x)=left{beginmatrixd,&mboxif x=1\d,&mboxif x=2\c,&mboxif x=3endmatrixright.

历史

函数这个数学名词是莱布尼兹在1694年开始使用的，用來描述跟曲线相关的一個量，如曲线的斜率或者曲线上的某一点。莱布尼兹所指的函数现在被称作可导函数，数学家之外的普通人一般接触到的函数即属此类。对于可导函数可以讨论它的极限和导数，此两者描述了函数输出值的变化同输入值变化的关系，是微积分学的基础。中文的“函数”一词由清朝数学家李善兰译出。其《代数学》书中解释：“凡此變數中函（包含）彼變數者，則此為彼之函數”。

1718年，約翰·伯努利把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量。”

1748年，伯努利的学生欧拉在《无穷分析引论》一书中说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”，例如 $f(x)=sin(x)+x^3$ 。

1775年，欧拉在《微分学原理》一书中又提出了函数的一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数。”

19世纪的数学家开始对数学的各个分支進行形式化。维尔斯特拉斯倡議将微积分学建立在算术，而不是几何的基础上，這種主張較趋向于欧拉的定义。

函数的定义得以擴展之後，数学家便能对一些“奇怪”的数学对象进行研究，例如處處不可导的连续函数。这些函数曾经被认为只具有理论价值，迟至20世纪初时它们仍被视作“怪物”。稍后，人们发现这些函数在对如布朗运动之类的物理现象进行建模时有重要的作用。

到19世纪末，数学家开始尝试利用集合论来進行数学的形式化。他们试图将每一個数学对象都定义为集合。狄利克雷给出了现代正式的函数定义（参见下文#正式定义）。在他的定義下，函数被视作数学关系的特例。然而对于实际应用的情况，现代定义和欧拉定义的区别可以忽略不计。

表示方法

描述法

表格法

公式法

函数的判别

除了利用函数的定义之外，还可以利用竖直判别法，即函数的图形与任何一条平行于 y 轴的直线不能有一个以上的交点。

单射、满射与双射函数

单射函数，将不同的輸入值映射到不同的函數值。即：若 $x$ 和 $y$ 属于定义域，则仅当 $x=y$ 时有 $displaystyle f(x)=f(y)$ 。

满射函数，其值域即为其到達域。即：对於映射 $f$ 的到達域中之任意 $y$ ，都存在至少一个 $x$ 满足 $displaystyle f(x)=y$ 。

双射函数，既是单射的又是满射的函數。也叫一一对应、對射。双射函数经常被用于表明集合 $X$ 和 $Y$ 是等势的，即有一样的基数。如果在两个集合之间可以建立一个一一对应，则说这两个集合等势。

定义域与值域、陪域

定义域：原像集，自变量的取值集合。

值域：像集，因变量的取值集合。

陪域：值域所属的全集。

像和原像

元素 $xin X$ 在 $f$ 之下的像就是 $f(x)$ 。

子集 $displaystyle Asubset X$ 在 $f$ 之下的像，是以 $A$ 的元素的像所組成的集合，為 $Y$ 的一個子集，即

displaystyle f(A):=f(x):xin A

。

注意 $f$ 的值域就是定義域 $X$ 的像 $f(X)$ 。在#正式定义一節的最後例子中， $displaystyle 2,3$ 在 $f$ 的像是 $displaystyle f(2,3=c,d$ ，而 $f$ 的值域是 $displaystyle c,d$ 。

根據此定義， $f$ 可引申成為由 $X$ 的幂集（由 $X$ 的子集組成的集）到 $Y$ 的幂集之函數，亦記作 $f$ 。

子集 $displaystyle Bsubset Y$ 在 $f$ 的原像（或逆像）是如下定義的 $X$ 的子集：

displaystyle f^-1(B):=xin X:f(x)in B

。

沿用同一例子，我們可以看到 $displaystyle a,b$ 的原像是 $displaystyle f^-1(a,b)=varnothing$ ，即空集。

根據此定義， $displaystyle f^-1(x)$ 是由 $Y$ 的幂集到 $X$ 的幂集之函數。

以下是 $f$ 及 $f^-1$ 的一些特性：

$displaystyle f(A_1cup A_2)=f(A_1)cup f(A_2)$ ；

$displaystyle f(A_1cap A_2)subseteq f(A_1)cap f(A_2)$ ；

$displaystyle f(B_1cup B_2)=f^-1(B_1)cup f^-1(B_2)$ ；

$displaystyle f^-1(B_1cap B_2)=f^-1(B_1)cap f^-1(B_2)$ ；

$displaystyle f^-1(f(B))subseteq B$ ；

$displaystyle f^-1(f(A))supseteq A$ 。

這些特性適合定義域的任意子集 $displaystyle A,A_1$ 及 $A_2$ 和到達域的任意子集 $displaystyle B,B_1$ 及 $displaystyle B_2$ ，甚至可推廣到任意子集群的交集和并集。

函数图形

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立方函数的图形

函数 $f$ 在平面上的图形是点对 $displaystyle (x,f(x))$ 的集合，其中 $x$ 取遍定义域上的所有成员。函数图形可以帮助理解证明一些定理。
注意函数图形可以有兩個定義：一是三元組 $displaystyle (X,Y,G)$ ，其中 $X$ 是函數的定義域， $Y$ 是函數的到達域， $G$ 是關係的圖；二是索性以關係的圖定義。用第二個定義則函数 $f$ 等於其图形。