逻辑运算符

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在形式逻辑中，逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如，假设有两个逻辑命题，分别是“正在下雨”和“我在屋里”，我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨，并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨，那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。



基本運算符


基本的操作符有：“非”（¬）、“与”（∧）、“或”（∨）、“条件”（→）以及“双条件”（↔）。“非”是一个一元操作符，它只操作一项（¬ P）。剩下的是二元操作符，操作两项来组成复杂语句（P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q）。


注意，符号“与”（∧）和交集（∩），“或”（∨）和并集（∪）的相似性。这不是巧合：交集的定义使用“与”，并集的定义是用“或”。


这些连接符的真值表:





































PQ¬P

P ∧ Q

P ∨ Q

P → Q

P ↔ Q
TTFTTTT
TFFFTFF
FTTFTTF
FFTFFTT

为了减少需要的括号的数量，有以下的优先规则：¬高于∧，∧高于∨，∨高于→。例如，P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。



二元邏輯聯結詞表


下面是在輸入P和Q上的16個二元布林函數。




























永假
符號
等價公式
真值表
文氏圖

⊥displaystyle bot bot

P ∧displaystyle wedge wedge ¬P












 

Q
0
1

P
0  
 0 
 0 
1  
 0 
 0 

Venn0000.svg

















永真
符號
等價公式
真值表
文氏圖

⊤displaystyle top top

P ∨displaystyle vee vee ¬P












 

Q
0
1

P
0  
 1 
 1 
1  
 1 
 1 

Venn1111.svg

















合取
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ∧displaystyle wedge wedge Q
P & Q
P · Q
P AND Q

P ↛displaystyle not rightarrow not rightarrow ¬Q
¬P ↚displaystyle not leftarrow not leftarrow Q
¬P ↓displaystyle downarrow downarrow ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 0 
 0 
1  
 0 
 1 

Venn0001.svg

















與非
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ↑ Q
P | Q
P NAND Q

P → ¬Q
¬P ← Q
¬P ∨ ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 1 
 1 
1  
 1 
 0 

Venn1110.svg

















非蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ↛displaystyle not rightarrow not rightarrow Q
P ⊅displaystyle not supset not supset Q

P & ¬Q
¬P ↓ Q
¬P ↚displaystyle not leftarrow not leftarrow ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 0 
 0 
1  
 1 
 0 

Venn0100.svg

















蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P → Q
P ⊃displaystyle supset supset Q

P ↑ ¬Q
¬P ∨ Q
¬P ← ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 1 
 1 
1  
 0 
 1 

Venn1011.svg

















命題P
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P













 

Q
0
1

P
0  
 0 
 0 
1  
 1 
 1 

Venn0101.svg

















非P
符號
等價公式
真值表
文氏圖
¬P
~P













 

Q
0
1

P
0  
 1 
 1 
1  
 0 
 0 

Venn1010.svg

















反非蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ↚displaystyle not leftarrow not leftarrow Q
P ⊄displaystyle not subset not subset Q

P ↓ ¬Q
¬P & Q
¬P ↛displaystyle not rightarrow not rightarrow ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 0 
 1 
1  
 0 
 0 

Venn0010.svg

















反蘊涵
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ←displaystyle leftarrow leftarrow Q
P ⊂displaystyle subset subset Q

P ∨ ¬Q
¬P ↑ Q
¬P → ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 1 
 0 
1  
 1 
 1 

Venn1101.svg

















命題Q
符號
等價公式
真值表
文氏圖

Q













 

Q
0
1

P
0  
 0 
 1 
1  
 0 
 1 

Venn0011.svg

















非Q
符號
等價公式
真值表
文氏圖
¬Q
~Q













 

Q
0
1

P
0  
 1 
 0 
1  
 1 
 0 

Venn1100.svg

















異或
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ↮displaystyle not leftrightarrow not leftrightarrow Q
P ≢displaystyle not equiv not equiv Q
P ⊕displaystyle oplus oplus Q
P XOR Q

P ↔ ¬Q
¬P ↔ Q
¬P ↮displaystyle not leftrightarrow not leftrightarrow ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 0 
 1 
1  
 1 
 0 

Venn0110.svg

















雙條件
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ↔ Q
P ≡ Q
P XNOR Q
P IFF Q

P ↮displaystyle not leftrightarrow not leftrightarrow ¬Q
¬P ↮displaystyle not leftrightarrow not leftrightarrow Q
¬P ↔ ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 1 
 0 
1  
 0 
 1 

Venn1001.svg

















析取
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ∨ Q
P ∨ Q
P OR Q

P ←displaystyle leftarrow leftarrow ¬Q
¬P → Q
¬P ↑ ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 0 
 1 
1  
 1 
 1 

Venn0111.svg

















或非
符號
等價公式
真值表
文氏圖

P ↓ Q
P NOR Q

P ↚displaystyle not leftarrow not leftarrow ¬Q
¬P ↛displaystyle not rightarrow not rightarrow Q
¬P ∧ ¬Q












 

Q
0
1

P
0  
 1 
 0 
1  
 0 
 0 

Venn1000.svg








圖示







真值表


哈斯圖


input Ainput Boutput f(A,B)X and ¬XA and Ben|Converse nonimplication|¬A and BBA and ¬BAA xor BA or B¬A and ¬BA xnor B¬A¬A or B¬Ben|Converse implication|A or ¬B¬A or ¬BX or ¬XLogical connectives table.svg




X or ¬X¬A or ¬Ben|Converse implication|A or ¬B¬A or BA or B¬B¬AA xor BA xnor BAB¬A and ¬BA and ¬Ben|Converse nonimplication|¬A and BA and BX and ¬XLogical connectives Hasse diagram.svg





  • 查

  • 论

  • 编


逻辑联结词


恆真（⊤displaystyle top top ）
Logical connectives Hasse diagram.svg

与非（↑displaystyle uparrow uparrow ） · 反蕴涵（←displaystyle leftarrow leftarrow ） · 蕴涵（→displaystyle rightarrow rightarrow ） · 或（∨displaystyle lor lor ）

非（¬displaystyle neg neg ） · 异或（⊕displaystyle oplus oplus ） · 双条件（↔displaystyle leftrightarrow leftrightarrow ） · 命题

或非（↓displaystyle downarrow downarrow ） · 非蕴涵（↛displaystyle nrightarrow nrightarrow ） · 反非蕴涵（↚displaystyle nleftarrow nleftarrow ） · 与（∧displaystyle land land ）

恆假（⊥displaystyle bot bot ）
-

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