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在向量分析中，雅可比矩阵是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵，其行列式称为雅可比行列式。

在代数几何中，代数曲线的雅可比行列式表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代數群，曲线可以嵌入其中。

它们全部都以普魯士数学家卡爾·雅可比命名。

雅可比矩阵

假設某函數從 Rndisplaystyle mathbb R ^n 映到 Rmdisplaystyle mathbb R ^m， 其雅可比矩阵是從 Rndisplaystyle mathbb R ^n 到 Rmdisplaystyle mathbb R ^m 的線性映射，其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此，雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。
假设F:Rn→Rmdisplaystyle F:mathbb R _nrightarrow mathbb R _m 是一个从 ndisplaystyle n 维欧氏空间映射到到 mdisplaystyle m 维欧氏空间的函数。这个函数由 mdisplaystyle m 个实函数组成: y1(x1,⋯,xn),⋯,ym(x1,⋯,xn)displaystyle y_1(x_1,cdots ,x_n),cdots ,y_m(x_1,cdots ,x_n)。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个 mdisplaystyle m行 ndisplaystyle n列的矩阵，這個矩陣就是所谓的雅可比矩阵：

[∂y1∂x1⋯∂y1∂xn⋮⋱⋮∂ym∂x1⋯∂ym∂xn].displaystyle beginbmatrixfrac partial y_1partial x_1&cdots &frac partial y_1partial x_n\vdots &ddots &vdots \frac partial y_mpartial x_1&cdots &frac partial y_mpartial x_nendbmatrix.

此矩阵用符號表示为：

JF(x1,…,xn)displaystyle J_F(x_1,ldots ,x_n) ，或者∂(y1,…,ym)∂(x1,…,xn).displaystyle frac partial (y_1,ldots ,y_m)partial (x_1,ldots ,x_n).

这个矩阵的第 idisplaystyle i行是由梯度函数的转置 yi(i=1,⋯,m)displaystyle y_i(i=1,cdots ,m)表示的

如果 pdisplaystyle p是Rndisplaystyle mathbb R ^n 中的一点，Fdisplaystyle F在 pdisplaystyle p点可微分，根據數學分析， JF(p)displaystyle J_F(p)是在这点的导数。在此情况下，JF(p)displaystyle J_F(p)這個线性映射即 Fdisplaystyle F 在点 pdisplaystyle p附近的最优线性逼近，也就是說當 xdisplaystyle x足夠靠近點 pdisplaystyle p時，我們有

F(x)≈F(p)+JF(p)⋅(x−p)displaystyle F(x)approx F(p)+J_F(p)cdot (x-p)

例子

由球坐标系到直角坐标系的转化由 Fdisplaystyle F函数给出︰R×[0,π]×[0,2π]→R3displaystyle mathbb R times [0,pi ]times [0,2pi ]rightarrow mathbb R ^3

x1=rsin⁡θcos⁡ϕdisplaystyle x_1=rsin theta cos phi ,

x2=rsin⁡θsin⁡ϕdisplaystyle x_2=rsin theta sin phi ,

x3=rcos⁡θdisplaystyle x_3=rcos theta ,

此坐标变换的雅可比矩阵是

JF(r,θ,ϕ)=[∂x1∂r∂x1∂θ∂x1∂ϕ∂x2∂r∂x2∂θ∂x2∂ϕ∂x3∂r∂x3∂θ∂x3∂ϕ]=[sin⁡θcos⁡ϕrcos⁡θcos⁡ϕ−rsin⁡θsin⁡ϕsin⁡θsin⁡ϕrcos⁡θsin⁡ϕrsin⁡θcos⁡ϕcos⁡θ−rsin⁡θ0].displaystyle J_F(r,theta ,phi )=beginbmatrixfrac partial x_1partial r&frac partial x_1partial theta &frac partial x_1partial phi \[3pt]frac partial x_2partial r&frac partial x_2partial theta &frac partial x_2partial phi \[3pt]frac partial x_3partial r&frac partial x_3partial theta &frac partial x_3partial phi \endbmatrix=beginbmatrixsin theta cos phi &rcos theta cos phi &-rsin theta sin phi \sin theta sin phi &rcos theta sin phi &rsin theta cos phi \cos theta &-rsin theta &0endbmatrix.

R4displaystyle mathbb R ^4的 Fdisplaystyle F函数:

y1=x1displaystyle y_1=x_1,

y2=5x3displaystyle y_2=5x_3,

y3=4x22−2x3displaystyle y_3=4x_2^2-2x_3,

y4=x3sin⁡x1displaystyle y_4=x_3sin x_1,

其雅可比矩阵为:

JF(x1,x2,x3)=[∂y1∂x1∂y1∂x2∂y1∂x3∂y2∂x1∂y2∂x2∂y2∂x3∂y3∂x1∂y3∂x2∂y3∂x3∂y4∂x1∂y4∂x2∂y4∂x3]=[10000508x2−2x3cos⁡x10sin⁡x1].displaystyle J_F(x_1,x_2,x_3)=beginbmatrixfrac partial y_1partial x_1&frac partial y_1partial x_2&frac partial y_1partial x_3\[3pt]frac partial y_2partial x_1&frac partial y_2partial x_2&frac partial y_2partial x_3\[3pt]frac partial y_3partial x_1&frac partial y_3partial x_2&frac partial y_3partial x_3\[3pt]frac partial y_4partial x_1&frac partial y_4partial x_2&frac partial y_4partial x_3\endbmatrix=beginbmatrix1&0&0\0&0&5\0&8x_2&-2\x_3cos x_1&0&sin x_1endbmatrix.

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中

考虑形为 x′=F(x)displaystyle x^prime =F(x)的动力系统，F:Rn→Rndisplaystyle F:mathbb R ^nrightarrow mathbb R ^n。如果 F(x0)=0displaystyle F(x_0)=0，那么 x0displaystyle x_0是一个驻点（又稱臨界點）。系统接近驻点时的行為跟 JF(x0)displaystyle J_F(x_0)的特征值相關。

雅可比行列式

如果 m=ndisplaystyle m=n，那么 Fdisplaystyle F是从 ndisplaystyle n维空间到 ndisplaystyle n维空间的函数，且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式，称为雅可比行列式。

在某个给定点的雅可比行列式提供了 Fdisplaystyle F在接近该点时的表现的重要信息。例如，如果连续可微函数 Fdisplaystyle F在 pdisplaystyle p点的雅可比行列式不是零，那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步，如果 pdisplaystyle p点的雅可比行列式是正数，则 Fdisplaystyle F在 pdisplaystyle p点的取向不变；如果是负数，则 Fdisplaystyle F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值，就可以知道函数 Fdisplaystyle F在 pdisplaystyle p点的缩放因子；这就是它出现在换元积分法中的原因。

例子

设有函数F:R3→R3displaystyle F:mathbb R ^3rightarrow mathbb R ^3，其分量为：

y1=5x2displaystyle y_1=5x_2,

y2=4x12−2sin⁡(x2x3)displaystyle y_2=4x_1^2-2sin(x_2x_3),

y3=x2x3displaystyle y_3=x_2x_3,

则它的雅可比行列式为：

|0508x1−2x3cos⁡(x2x3)−2x2cos⁡(x2x3)0x3x2|=−8x1⋅|50x3x2|=−40x1x2.displaystyle beginvmatrix0&5&0\8x_1&-2x_3cos(x_2x_3)&-2x_2cos(x_2x_3)\0&x_3&x_2endvmatrix=-8x_1cdot beginvmatrix5&0\x_3&x_2endvmatrix=-40x_1x_2.

从中我们可以看到，当x1displaystyle x_1和x2displaystyle x_2同号时，Fdisplaystyle F的取向相反；该函数处处具有反函数，除了在 x1=0displaystyle x_1=0和 x2=0displaystyle x_2=0时以外。

逆矩陣

根據反函數定理，一個可逆函數（存在反函數的函數）的雅可比矩陣的逆矩陣即為該函數的反函數的雅可比矩陣。即，若函數 F:Rn→Rndisplaystyle F:mathbb R ^nrightarrow mathbb R ^n在點 p∈Rndisplaystyle pin mathbb R ^n的雅可比矩陣是連續且可逆的，則 Fdisplaystyle F在點 pdisplaystyle p的某一鄰域內也是可逆的，且有

JF−1∘f=JF−1displaystyle J_F^-1circ f=J_F^-1

成立。相反，倘若雅可比行列式在某一個點不為零，那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆（存在反函數）。

一個多項式函數的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言，如果函數的雅可比行列式為一個非零實數（相當於其不存在複零點），則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。

参看

• 前推


• 海森矩阵

外部链接

• 
  Ian Craw的本科教学网页 雅可比行列式的通俗解释


• 
  Mathworld 更技术型的雅可比行列式的解释