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当曲线上一点Mdisplaystyle M沿曲线无限远离原点时，如果Mdisplaystyle M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。數學上的定義則是：若函數y=f(x)displaystyle y=fleft(xright)的圖形收斂，則漸近線為y=limx→∞f(x)displaystyle y=lim _xto infty fleft(xright)，

例解

例如，直线y=baxdisplaystyle y=frac bax是双曲线x2a2−y2b2=1displaystyle frac x^2a^2-frac y^2b^2=1的渐近线，因为双曲线上的点Mdisplaystyle M到直线y=baxdisplaystyle y=frac bax的距离MQ<MNdisplaystyle MQ<MN；当MNdisplaystyle MN无限趋近于0时，MQdisplaystyle MQ也无限趋近于0。所以按照定义，直线y=baxdisplaystyle y=frac bax是该双曲线的渐近线。同理，直线y=−baxdisplaystyle y=-frac bax也是该双曲线的渐近线。

对于F(x,y)=0displaystyle Fleft(x,yright)=0来说，如果当x→adisplaystyle xrightarrow a时，有y→±∞displaystyle yrightarrow pm infty (左右極限不一定相等)，就把x=adisplaystyle x=a叫做F(x,y)=0displaystyle Fleft(x,yright)=0的垂直渐近线；如果当x→∞displaystyle xrightarrow infty 时，有y→bdisplaystyle yrightarrow b，就把y=bdisplaystyle y=b叫做F(x,y)=0displaystyle Fleft(x,yright)=0的水平渐近线。例如，y=3displaystyle y=3是曲线xy=3x+2displaystyle xy=3x+2的水平渐近线。

求法

依据

求渐近线，可以依据以下结论：

若极限limx→∞f(x)x=adisplaystyle lim _xto infty frac f(x)x=a存在，且极限limx→+∞[f(x)−ax]=bdisplaystyle lim _xto +infty left[fleft(xright)-axright]=b也存在，那么曲线y=f(x)displaystyle y=fleft(xright)具有渐近线y=ax+bdisplaystyle y=ax+b。

例子

例：求y=x21+xdisplaystyle y=frac x^21+x的渐近线。

解：(1)x=−1displaystyle x=-1为其垂直渐近线。

(2)limx→∞f(x)x=limx→∞x1+xdisplaystyle lim _xto infty frac fleft(xright)x=lim _xto infty frac x1+x，即a=1displaystyle a=1；

limx→∞[f(x)−ax]=limx→∞−x1+x=−1displaystyle lim _xto infty left[fleft(xright)-axright]=lim _xto infty frac -x1+x=-1，即b=−1displaystyle b=-1；

所以y=x−1displaystyle y=x-1也是其渐近线。

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