五角数
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五邊形數是能排成五邊形的多邊形數。其概念類似三角形數及平方數，不過五邊形數和三角形數及平方數不同，所對應的形狀沒有旋轉對稱（Rotational symmetry）的特性。
第ndisplaystyle n
- pn=3n2−n2displaystyle p_n=frac 3n^2-n2
且n>0displaystyle n>0
首幾個五邊形數為1,
5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117...
(OEIS:A000326)，其奇偶排列是「奇奇偶偶」。
第ndisplaystyle n
目录
1 五邊形數測試
2 用五邊形數的和來表示整數
3 廣義五邊形數
4 廣義五邊形數和中心六邊形數
5 參見
6 參考資料
7 外部連結
五邊形數測試
利用以下的公式可以測試一個正整數x是否是五邊形數（此處不考慮廣義五邊形數）：
- n=24x+1+16.displaystyle n=frac sqrt 24x+1+16.
- 若n是自然數，則x是五邊形數，而且恰為第n個五邊形數。
- 若n不是自然數，則x不是五邊形數。
用五邊形數的和來表示整數
依照費馬多邊形數定理，任何整數都可以表示為不超過5個五邊形數的和。但大多數的整數都可以表示不超過3個五邊形數的和[1]。在小於106displaystyle 10^6
9, 21, 31, 43, 55, 89 (OEIS:A133929)
而以下210個整數需用4個五邊形數的和來表示：
4, 8, 9, 16, 19, 20, ..., 20250, 33066 (OEIS:A003679)
廣義五邊形數
廣義五邊形數的公式和五邊形數相同，只是n可以為負數和零，n 依序為0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4...，廣義五邊形數也可以用下式表示：
- pn=3n2±n2displaystyle p_n=frac 3n^2pm n2
n 依序為0, 1, 2, 3, 4...，
其產生的數列如下：
0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (OEIS:A001318)
在歐拉的整數分拆理論中，五邊形數定理說明廣義五邊形數和整數分拆的關係。
用第n個五邊形數（n>2）排列組成的正五邊形，外圍點的個數有5(n−1)displaystyle 5(n-1)
- 3n2−n2−5(n−1)=3n2−11n+102=(3n−5)(n−2)2=3(n−2)2+(n−2)2displaystyle frac 3n^2-n2-5(n-1)=frac 3n^2-11n+102=frac (3n-5)(n-2)2=frac 3(n-2)^2+(n-2)2
剛好也是一個廣義五邊形數。
所有的整數都可以表示成不超過3個廣義五邊形數的和[1]。
若三角形數可以被3整除，則除以3之後的數必為廣義五邊形數[2]。
廣義五邊形數和中心六邊形數
廣義五邊形數和中心六邊形數有密切的關係。將中心六邊形數以陣列的方式排出，並且從中間將正六邊形分為二個梯形，較大的梯形可以表示為五邊形數，而較小的梯形可以表示為廣義五邊形數，因此中心六邊形數可以表示為二個廣義五邊形數的和（五邊形數也是廣義五邊形數的一種）：
| 1=1+0 | 7=5+2 | 19=12+7 | 37=22+15 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
 |  | | |
一般來言：
- 3n(n−1)+1=12n(3n−1)+12(1−n)[3(1−n)−1]displaystyle 3n(n-1)+1=tfrac 12n(3n-1)+tfrac 12(1-n)[3(1-n)-1]
![displaystyle 3n(n-1)+1=tfrac 12n(3n-1)+tfrac 12(1-n)[3(1-n)-1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/356714b4c67c91eacacf03e42360be861d207723)
等式右側為二個廣義五邊形數，且第一項是五邊形數(n ≥ 1)。
參見
- 五邊形數定理
參考資料
- Leonard Euler: On the remarkable properties of the pentagonal numbers
^ 1.01.1 Richard, Guy. Every Number is Expressible as the Sum of How Many Polygonal Numbers? (PDF). The American Mathematical Monthly. 1994, 101 (2): p169–172. 引文格式1维护：冗余文本 (link)[永久失效連結]
^ John Horton Conway; Richard K. Guy. The book of numbers. Springer. 1996: p96. ISBN 038797993X. 引文使用过时参数coauthors (帮助) 引文格式1维护：冗余文本 (link)
外部連結
Pentagon, Kartenhaus und Summenzerlegung（德文）
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