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Clash Royale CLAN TAG #URR8PPP 由兩個元素a, b 生成的自由群的凱萊圖 在數學中，一個群 Gdisplaystyle G 被稱作 自由群 ，如果存在 Gdisplaystyle G 的子集 Sdisplaystyle S 使得 Gdisplaystyle G 的任何元素都能唯一地表成由 Sdisplaystyle S 中元素及其逆元組成之乘積（在此不論平庸的表法，例如 st−1=su−1ut−1displaystyle st^-1=su^-1ut^-1 之類）；此時也稱 Gdisplaystyle G 為集合 Sdisplaystyle S 上的 自由群 ，其群結構決定於集合 Sdisplaystyle S ，記為 F(S)displaystyle F(S) ， Sdisplaystyle S 稱作一組 基底 。按照範疇論的觀點，自由群也可以抽象地理解為群範疇中的自由對象。 一個相關但略有不同的概念是 自由阿貝爾群 （ 英语 ： free abelian group ） 。 目录 1 歷史 2 例子 3 建構方式 4 泛性質 5 性質與定理 6 自由阿貝爾群 7 塔斯基的問題 8 文獻 歷史 在1882年，Walther Dyck 在發表於 Mathematische Annalen 的論文 Gruppentheoretische Studien 中研究了自由群的概念，但未加以命名。「自由群」一詞由 Jakob Nielsen 於1924年引入。 例子 2個圓環的集束 整數的加法群 (Z,+)displaystyle (mathbb Z ,+) 是自由群；事實上我們可取 S:=1displaystyle S:=1 。 在巴拿赫-塔斯基悖論的論證中用到兩個生成元的自由群，以下將予說明。 在代數拓撲學中， kdisplaystyle k 個圓環的集束（即： kdisplaystyle k 個只交於一點的圓環，見右圖）的基本群是 kdisplaystyle k 個生成元的自由群。 建構方式 今將構造集合 Sdisplaystyle S 上之自由群 F(S)displaystyle F(S) ，分解動作如下。 對任何 s∈Sdisplaystyle sin S ，引入符號 s−1display

Clash Royale CLAN TAG #URR8PPP 卑尔根 Bergen 城市 Kommune av Bergen 旗幟 徽章 卑爾根在霍达兰郡的位置 卑尔根 卑爾根在挪威的位置 坐标： 60°22′N 05°24′E  /  60.367°N 5.400°E  / 60.367; 5.400 坐标： 60°22′N 05°24′E  /  60.367°N 5.400°E  / 60.367; 5.400 國家   挪威 郡 霍达兰郡 建立 1070年之前 政府  • 市長 Marita Moltu （KrF） 面积  • 城市 464.71 平方公里（179.43 平方英里）  • 陸地 445.19 平方公里（171.89 平方英里）  • 水域 19.52 平方公里（7.54 平方英里）  • 市區 94.03 平方公里（36.31 平方英里）  • 都會區 2.755 平方公里（1.064 平方英里） 人口 （2017年1月）  • 城市 278,556  • 密度 600/平方公里（1,600/平方英里） 居民称谓 Bergenser/Bergensar 时区 CET （UTC+1）  • 夏时制 CEST（UTC+2） 郵政號碼 5003–5268 (P.O.box 5802-5899) 電話區號 +47 5556 網站 www.bergen.kommune.no 卑爾根 （挪威语： Bergen   聆听 帮助 · 信息 ）是挪威第二大城市。根據政府的統計，直至2006年7月1日，卑爾根市區的人口有243 219人 [1] ，如果連同郊區和周邊區域的話，則有369 099人 [2] 。整個城市共分為八個區域： Arna 、 Bergenhus 、 Fana 、 Fyllingsdalen 、 Laksevåg 、 Ytrebygda 、 Årstad 和 Åsane 。 卑爾根位於挪威的西南方，剛好位於「七大山」（挪威语： de syv fjell ）的中間。卑爾根是西挪威的非正式首都，也是挪威對外的大門。而也因為其峽灣地形適合大型船集操作，令卑爾根成為歐洲最大的郵輪港中的一個。根據2005年的統計，卑爾根處理全挪威超過50%的貨物來往。 在2000年，卑爾根獲選為「歐洲文化之都」。 [3] 目录 1 歷史 2