Xrthnty

余弦
性質
奇偶性	偶
定義域	(-∞,∞)
到達域	[-1,1]
周期	2π
特定值
當x=0	1
當x=+∞	N/A
當x=-∞	N/A
最大值	(2kπ,1)
最小值	((2k+1)π,-1)
其他性質
渐近线	N/A
根	kπ-π/2
臨界點	kπ
拐點	kπ-π/2
不動點	0.7390851332152...
k是一個整數。

余弦是三角函数的一种。它的定义域是整个实数集，值域是[-1,1]。它是周期函数，其最小正周期为2π。在自变量为2nπ（n为整数）时，该函数有极大值1；在自变量为(2n+1)π时，该函数有极小值-1。余弦函数是偶函数，其图像关于y轴对称。

符号说明

余弦的符号为cos，取自拉丁文cosinus。该符号最早由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉所采用。

定义

直角三角形中

直角三角形，∠C為直角，∠A 的角度為 θdisplaystyle theta ， 對於 ∠A 而言，a為對邊、b為鄰邊、c為斜邊

在直角三角形中，一个锐角 ∠A 的余弦定义为它的邻边与斜边的比值，也就是：

cos⁡θ=bcdisplaystyle cos theta =frac mathrm b mathrm c ,!

直角坐标系中

设α是平面直角坐标系xOy中的一个象限角，P(x,y)displaystyle Pleft(x,yright)是角的终边上一点，r=x2+y2>0displaystyle r=sqrt x^2+y^2>0是P到原点O的距离，则α的余弦定义为：

cos⁡α=xrdisplaystyle cos alpha =frac xr,!

单位圆定义

单位圆

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sin θ。

在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了cos θ = x/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于1查看无限数目的三角形的一种方式。

对于大于2π或小于−2π的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，余弦变成了周期为2π的周期函数：

cos⁡θ=cos⁡(θ+2πk)displaystyle cos theta =cos left(theta +2pi kright)

对于任何角度θ和任何整数k。

级数定义

cos⁡x=1−x22!+x44!−x66!+⋯=∑n=0∞(−1)nx2n(2n)!displaystyle cos x=1-frac x^22!+frac x^44!-frac x^66!+cdots =sum _n=0^infty frac (-1)^nx^2n(2n)!,!

微分方程定义

由于余弦的导数是负的正弦，正弦的导数是余弦，因此余弦函数满足初值問題

y″=−y,y(0)=1,y′(0)=0displaystyle y''=-y,,y(0)=1,,y'(0)=0

这就是余弦的微分方程定义。

指数定义

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2displaystyle cos theta =frac e^itheta +e^-itheta 2,!

恒等式

用其它三角函数来表示余弦

函数	sin	cos	tan	csc	sec	cot
cos⁡θ=displaystyle cos theta =	1−sin2⁡θdisplaystyle sqrt 1-sin ^2theta	cos⁡θ displaystyle cos theta	11+tan2⁡θdisplaystyle frac 1sqrt 1+tan ^2theta	csc2⁡θ−1csc⁡θdisplaystyle frac sqrt csc ^2theta -1csc theta	1sec⁡θdisplaystyle frac 1sec theta	cot⁡θ1+cot2⁡θdisplaystyle frac cot theta sqrt 1+cot ^2theta

两角和差公式

cos⁡(x+y)=cos⁡xcos⁡y−sin⁡xsin⁡ydisplaystyle cos left(x+yright)=cos xcos y-sin xsin y

cos⁡(x−y)=cos⁡xcos⁡y+sin⁡xsin⁡ydisplaystyle cos left(x-yright)=cos xcos y+sin xsin y

二倍角公式

cos⁡(2θ)=cos2⁡θ−sin2⁡θ=2cos2⁡θ−1=1−2sin2⁡θdisplaystyle cos(2theta )=cos ^2theta -sin ^2theta =2cos ^2theta -1=1-2sin ^2theta

三倍角公式

cos⁡3θ=4cos3⁡θ−3cos⁡θdisplaystyle cos 3theta =4cos ^3theta -3cos theta ,

半角公式

cos⁡θ2=±1+cos⁡θ2.displaystyle cos frac theta 2=pm ,sqrt frac 1+cos theta 2.,

幂简约公式

cos2⁡θ=1+cos⁡2θ2displaystyle cos ^2theta =frac 1+cos 2theta 2,!

cos3⁡θ=3cos⁡θ+cos⁡3θ4displaystyle cos ^3theta =frac 3cos theta +cos 3theta 4,!

和差化积公式

cos⁡θ+cos⁡ϕ=2cos⁡(θ+ϕ2)cos⁡(θ−ϕ2)displaystyle cos theta +cos phi =2cos left(frac theta +phi 2right)cos left(frac theta -phi 2right)

cos⁡θ−cos⁡ϕ=−2sin⁡(θ+ϕ2)sin⁡(θ−ϕ2)displaystyle cos theta -cos phi =-2sin left(theta +phi over 2right)sin left(theta -phi over 2right)

万能公式

cos⁡α=1−tan2⁡α21+tan2⁡α2displaystyle cos alpha =frac 1-tan ^2frac alpha 21+tan ^2frac alpha 2,!

含有余弦的积分

∫cos⁡cxdx=1csin⁡cxdisplaystyle int cos cx;dx=frac 1csin cx,!

∫cosn⁡cxdx=cosn−1⁡cxsin⁡cxnc+n−1n∫cosn−2⁡cxdx(n>0)displaystyle int cos ^ncx;dx=frac cos ^n-1cxsin cxnc+frac n-1nint cos ^n-2cx;dxqquad mbox(n>0mbox),!

∫xcos⁡cxdx=cos⁡cxc2+xsin⁡cxcdisplaystyle int xcos cx;dx=frac cos cxc^2+frac xsin cxc,!

∫xncos⁡cxdx=xnsin⁡cxc−nc∫xn−1sin⁡cxdxdisplaystyle int x^ncos cx;dx=frac x^nsin cxc-frac ncint x^n-1sin cx;dx,!

∫−a2a2x2cos2⁡nπxadx=a3(n2π2−6)24n2π2(n=1,3,5...)displaystyle int _frac -a2^frac a2x^2cos ^2frac npi xa;dx=frac a^3(n^2pi ^2-6)24n^2pi ^2qquad mbox(n=1,3,5...mbox),!

∫cos⁡cxxdx=ln⁡|cx|+∑i=1∞(−1)i(cx)2i2i⋅(2i)!+sum _i=1^infty (-1)^ifrac (cx)^2i2icdot (2i)!,!

∫cos⁡cxxndx=−cos⁡cx(n−1)xn−1−cn−1∫sin⁡cxxn−1dx(n≠1)displaystyle int frac cos cxx^ndx=-frac cos cx(n-1)x^n-1-frac cn-1int frac sin cxx^n-1dxqquad mbox(nneq 1mbox),!

∫dxcos⁡cx=1cln⁡|tan⁡(cx2+π4)|

∫dxcosn⁡cx=sin⁡cxc(n−1)cosn−1cx+n−2n−1∫dxcosn−2⁡cx(n>1)displaystyle int frac dxcos ^ncx=frac sin cxc(n-1)cos^n-1cx+frac n-2n-1int frac dxcos ^n-2cxqquad mbox(n>1mbox),!

∫dx1+cos⁡cx=1ctan⁡cx2displaystyle int frac dx1+cos cx=frac 1ctan frac cx2,!

∫dx1−cos⁡cx=−1ccot⁡cx2displaystyle int frac dx1-cos cx=-frac 1ccot frac cx2,!

∫xdx1+cos⁡cx=xctan⁡cx2+2c2ln⁡|cos⁡cx2|displaystyle int frac x;dx1+cos cx=frac xctan frac cx2+frac 2c^2ln left

∫xdx1−cos⁡cx=−xccot⁡cx2+2c2ln⁡|sin⁡cx2|sin frac cx2right

∫cos⁡cxdx1+cos⁡cx=x−1ctan⁡cx2displaystyle int frac cos cx;dx1+cos cx=x-frac 1ctan frac cx2,!

∫cos⁡cxdx1−cos⁡cx=−x−1ccot⁡cx2displaystyle int frac cos cx;dx1-cos cx=-x-frac 1ccot frac cx2,!

∫cos⁡c1xcos⁡c2xdx=sin⁡(c1−c2)x2(c1−c2)+sin⁡(c1+c2)x2(c1+c2)(|c1|≠|c2|)neq

特殊值

弳度	0displaystyle 0	π12displaystyle frac pi 12	π6displaystyle frac pi 6	π5displaystyle frac pi 5	π4displaystyle frac pi 4	π3displaystyle frac pi 3	5π12displaystyle frac 5pi 12	π2displaystyle frac pi 2
cos	1displaystyle 1	6+24displaystyle frac sqrt 6+sqrt 24	32displaystyle frac sqrt 32	5+14displaystyle frac sqrt 5+14	22displaystyle frac sqrt 22	12displaystyle frac 12	6−24displaystyle frac sqrt 6-sqrt 24	0displaystyle 0

角度	0∘displaystyle 0^circ	30∘displaystyle 30^circ	45∘displaystyle 45^circ	60∘displaystyle 60^circ	90∘displaystyle 90^circ
cos	42=1displaystyle frac sqrt 42=1	32displaystyle frac sqrt 32	22displaystyle frac sqrt 22	12=12displaystyle frac sqrt 12=1 over 2	02=0displaystyle frac sqrt 02=0

余弦定理

余弦定理（也叫做余弦公式）是勾股定理的扩展：

c2=a2+b2−2abcos⁡Cdisplaystyle c^2=a^2+b^2-2abcos C,

也表示为：

cos⁡C=a2+b2−c22abdisplaystyle cos C=frac a^2+b^2-c^22ab,!

这个定理也可以通过把三角形分为两个直角三角形来证明。余弦定律用于在一个三角形的两个边和一个角已知时确定未知的数据。

如果这个角不包含在这两个边之间，三角形可能不是唯一的（边-边-角全等歧义）。小心余弦定律的这种歧义情况。

參見

维基共享资源中相关的多媒体资源：餘弦

• 正弦


• 正切


• 三角学


• 三角函数

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