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向下的重力（F_g）相等于向上的阻力（F_d）。此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变。

在流体动力学中，当物体在流体中运动时，在流体向物体运动反方向所施的力下，物体的运动速度因而不变，这时物体所移动的速度就是终端速度。

当向下的重力（F_g）相等于向上的阻力（F_d）时，自由落体中的物体会达到终端速度。此时物体的合力为零，因此物体的速度保持不变^[1]。

当物体加速的时候（一般是因为重力而向下加速），施向物体的抗力也在增加，使得加速度慢下来。在某一个速度下，所产生的抗力会相等于物体的重量（mgdisplaystyle mg）。这时候物体停止加速，并持续以不变的速度下落，这个速度就是终端速度（也叫沉降速度）。终端速度直接随着重量与阻力的比值而变。更大的抗力代表较低的终端速度，而更大的重量则代表较高的终端速度。若一向下移动物体的速度大于终端速度（比方说它受一向下的力影响，或它掉进了较薄的大气层区域，或它的形状改变），它的速度会慢下来，直至达到终端速度为止。

例子

举例说，基于风阻，一个采取俯伏向下自由落体姿势的跳伞员，其终端速度约为195km/h（55m/s）^[2]。这个速度是整个加速过程的渐近极限值，因为作用在身体上的有效力在接近终端速度的过程中，愈来愈接近互相平衡的状态。在这个例子中，要达到终端速度的50%只需要3秒，达到90%则需要8秒，而达到99%就需要15秒，如此类推。

如果跳伞员把四肢拉起来的话，终端速度会提高。在这个例子中，终端速度会提升至320km/h（90m/s）^[2]，几乎到达游隼向下追捕猎物时的速度；一粒典型的.30-06步枪子弹在垂直下坠时也会达到这样的终端速度——垂直下坠可能是因为被向上射击后要回到地面，又或是从高楼上掉下——其速度是来自于一份1920年的美军军械研究报告^[3] 。

竞速跳伞员会使用头向下俯冲的姿势来达到更高的速度，2012年之前的世界纪录由约瑟夫·基廷格在1960年所创下，速度为988km/h，当时位于海拔较高的地方，因此大气层较为稀薄，空气阻力较小^[2] 。菲利克斯·保加拿为了打破此纪录，在2012年10月15日从39公里高的同温层跳下，最高时速高达1357.6km/h，是目前的世界纪录保持人。^[4]

一向着地球表面下坠物体的速度，每秒钟会增加每秒钟9.806米（即加速度为9.806m‧s^-2）。物体会达到终端速度的原因是，阻力的大小与速度的平方成正比。在低速时，阻力比重力要小得多，所以物体加速。当物体在加速时，阻力增加，直至与重量相等。阻力同时亦取决于投影面积。就是因为这个原因，相对于质量有着大投影面积的物体，如降落伞，比其他这方面小的物体，如子弹，有着更低的终端速度。

数学上，无视浮力的终端速度可用下式表示：

Vt=2mgρACddisplaystyle V_t=sqrt frac 2mgrho AC_d

其中

Vtdisplaystyle V_t为终端速度，

mdisplaystyle m为物体重量，

gdisplaystyle g为地球所引起的加速度，

Cddisplaystyle C_d为阻力系数，

ρdisplaystyle rho 为物体落下时所处的流体密度，

Adisplaystyle A为物体的投影面积。

数学上，一物体渐近地到达终端速度。

由周遭流体向物体所施的向上力所造成的浮力效应，可用阿基米德定律来描述：质量mdisplaystyle m必须减去所排开的流体质量ρVdisplaystyle rho mathcal V，其中Vdisplaystyle mathcal V为物体的体积。所以不使用mdisplaystyle m，在各方程中改用约化质量mr=m−ρVdisplaystyle m_r=m-rho mathcal V。

在地球上，一物体的终端速度取决于流体的性质、物体的质量及其横截表面积的投影大小。

空气密度随着海拔减少而增加，海拔每减少80米，密度就增加约1%（使用气压公式）。若物体下降时穿越大气层，每下降160米，终端速度就会减少1%。当物点达到所处点的终端速度后，若持续下降，则物体会因为新位置的终端速度而减速。

终端速度的推导

数学上，把向下定义为正方向，物体在接地球表面落下是所受的合力F_net为（根据牛顿第二运动定律）：

Fnet=ma=mg−FDdisplaystyle F_net=ma=mg-F_D。

其中：
a为加速度，
F_D为阻力。

根据阻力公式：

FD=12ρv2CdAdisplaystyle F_D,=,tfrac 12,rho ,v^2,C_d,A。

将上两式结合可得

Fnet=mg−12ρv2ACddisplaystyle F_net=mg-1 over 2rho v^2AC_mathrm d 。

在平衡时，合力为零（F=0）：

mg−12ρv2ACd=0 displaystyle mg-1 over 2rho v^2AC_mathrm d =0 。

解v可得，

2mgρACd displaystyle sqrt frac 2mgrho AC_mathrm d 。

有浮力情况下的终端速度

当考虑浮力效应时，因自身质量而在流体中下沉的物体，若其合力为零，就会达到终端速度（沉降速度）。当达到终端速度时，物体的重量会正好等于向上的浮力与阻力之和。即：

(1)W=Fb+Ddisplaystyle quad (1)qquad W=F_b+D

其中

Wdisplaystyle W为物体的重量，

Fbdisplaystyle F_b为作用于物体上的浮力，及

Ddisplaystyle D 为作用于物体上的阻力。

若下沉的物体是球状的，则三种力的表示式如下：

(2)W=π6d3ρsgdisplaystyle quad (2)qquad W=tfrac pi 6d^3rho _sg

(3)Fb=π6d3ρgdisplaystyle quad (3)qquad F_b=tfrac pi 6d^3rho g

(4)D=Cd12ρV2Adisplaystyle quad (4)qquad D=C_dtfrac 12rho V^2A

其中

ddisplaystyle d为球体的直径，

gdisplaystyle g为重力加速度，

ρdisplaystyle rho 为流体的密度，

ρsdisplaystyle rho _s为球体的密度，

A=πd2/4displaystyle A=pi d^2/4为球体投影面积，

Cddisplaystyle C_d阻力系数，及

Vdisplaystyle V为特征速度（即终端速度，Vtdisplaystyle V_t）。

将方程(2)至(4)代入至方程(1)，求解Vtdisplaystyle V_t的值，得下式：

(5)Vt=4gd3Cd(ρs−ρρ)displaystyle quad (5)qquad V_t=sqrt frac 4gd3C_dleft(frac rho _s-rho rho right)。

蠕流下的终端速度

蠕流流过球体示意图：流线、阻力F_d及重力F_g

对流体内非常慢的运动而言，相对于其他力，流体的惯性力是无关重要的（假设流体无质量）。这样的流被称为蠕流，而蠕流需要满足雷诺数Re≪1displaystyle Rell 1的条件。蠕流的运动方程（简化后的纳维-斯托克斯方程）如下：

∇p=μ∇2vdisplaystyle nabla p=mu nabla ^2mathbf v

其中：

vdisplaystyle mathbf v 为速度矢量场，

pdisplaystyle p为压力场，及

μdisplaystyle mu 为流体黏度。

流过球体的蠕流解析解最早由乔治·斯托克斯于1851年提出。从斯托克斯的解可得作用于球体的阻力

(6)D=3πμdVdisplaystyle quad (6)qquad D=3pi mu dVqquad qquad 或 Cd=24Redisplaystyle qquad qquad C_d=frac 24Re

其中雷诺数Re=ρdVμdisplaystyle Re=tfrac rho dVmu 。方程(6)中表示阻力的式子又被称为斯托克斯定律。

把Cddisplaystyle C_d的值代入至方程(5)，可得球状物体在蠕流条件下的终端速度表示式：

Vt=gd218μ(ρs−ρ)displaystyle V_t=frac gd^218mu left(rho _s-rho right)。

应用

蠕流的计算结果可被用于研究近海底沉积粒子的沉降，及大气层中下降的水滴。其原理被应用于落球式黏度计，一种量度高黏度流体黏度的实验装置。

另见

• 斯托克斯定律


• 自由落体

参考文献

外部链接

• 
  终端速度——美国国家航空航天局页面（英文）
  


• 
  终端速度与物体的大小尺度物理动画